Câu 241: Hỏi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{5}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{21}}{2}{x^2} - 18x - 4\)có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^4} + 5{x^3} + {x^2} - 21x - 18\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{x^2} - 2x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\). Vậy hàm số đạt cực trị tại \(x = - \frac{3}{2}\) và \(x = 2.\)
Câu 242: Hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. \(\left( {0; + \infty } \right)\). B. \(\left( { - 2;2} \right)\). C. \(\left( { - 2;0} \right)\). D. \(\left( {2; + \infty } \right)\). Spoiler: Xem đáp án Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\) Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\). Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow x = \pm 2\). Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 243: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\), có bảng biến thiên như hình vẽ sau: Mệnh đề nào sao đây sai. A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị. B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một điểm cực trị. C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số chỉ đạt cực trị tại $x=-1$.
Câu 244: Đồ thị hàm số nào có đúng một điểm cực trị? A. \(y = {x^4} - 2{x^2} + 1\). B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\). C. \(y = {x^3} - 4x + 2\). D. \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\). \(y' = 4{x^3} + 4x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\). Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị. A sai vì có 3 cực trị . B sai vì không có cực trị. C sai vì có hai cực trị.
Câu 245: Cho các số thực x, y thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 3{y^2} = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left( {x - y} \right)^2}\) là: A. \(\max P = 8\) B. \(\max P = 12\) C. \(\max P = 16\) D. \(\max P = 4\) Spoiler: Xem đáp án Với y=0 ta có \(x = \pm 2 \Rightarrow P = 4.\) Với \(y \ne 0,\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 2\frac{x}{y} + 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 2\frac{x}{y} + 3}}\) Đặt \(t = \frac{x}{y},\) ta có: \(\frac{P}{4} = \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\) Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} - 2t + 1}}{{{t^2} + 2t + 3}}\) \(f'(t) = \frac{{4({t^2} + t - 2)}}{{{{({t^2} + 2t + 3)}^2}}};f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy \(\max f(t) = 3 \Rightarrow \max P = 12.\)
Câu 246: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - x\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) là: A. \(2\ln 2 - 3\) B. -3 C. \(2\ln 3 - 4\) D. -2 Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) Ta có \(y' = \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 1}} - 1;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{y' = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {2;4} \right)}\\{{x^2} - 2x + 1 = 2x - 2}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow x = 3\) Mà \(y\left( 2 \right) = - 2;y\left( 4 \right) = \ln 9 - 4;y\left( 3 \right) = \ln 4 - 3 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = - 2.\)
Câu 247: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \). Khi đó A. \(M - m = 4\) B. \(M - m = 2\sqrt 2 \) C. \(M - m = 2\sqrt 2 - 2\) D. \(M - m = 2\sqrt 2 + 2\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right].\) Ta có \(y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 .\) Ta có \(y\left( { - 2} \right) = - 2;y\left( 2 \right) = 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \); \(\begin{array}{l} \Rightarrow M = 2\sqrt 2 ;\,m = - 2\\ \Rightarrow M - m = 2\sqrt 2 + 2\end{array}\).
Câu 248: Tìm m để hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\) A. \(m > - \frac{4}{3}\) B. \(m \ge - \frac{4}{3}\) C. \(m \le - \frac{4}{3}\) D. \(m < - \frac{4}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \(y' = 3{x^2} + 4x - m \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3 > 0}\\{\Delta ' = 4 + 3m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{4}{3}.\)
Câu 249: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\) B. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\) D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right);\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Câu 250: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 C. Hàm số có một điểm cực trị D. Hàm số có hai điểm cực trị Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\), còn tại điểm \(x = 0\) không phải cực trị của đồ thị hàm số (hàm số không xác định tại x=0). Do đó hàm số có một điểm cực trị.
