Câu 251: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) B. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) C. Hàm số đã cho có cực trị trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) D. Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đồng biến trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Câu 252: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số có hai điểm cực đại là \(x = - 1;x = 2\) B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là \(x = 0,x = 3\) C. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực đại tại \(x = 2\) D. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực đại tại \(x = - 1\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị hàm số ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), cực tiểu tại \(x = 2.\)
Câu 253: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {m - 3} \right)x + 2017m\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\) là đoạn \(T = \left[ {a;b} \right).\) Tính \({a^2} + {b^2}.\) A. \({a^2} + {b^2} = 10.\) B. \({a^2} + {b^2} = 13.\) C. \({a^2} + {b^2} = 8.\) D. \({a^2} + {b^2} = 5.\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) Ta có \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 3} \right)\) suy ra phương trình y’=0 có nhiều nhất hai nghiệm trên \(\mathbb{R}.\) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;3) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right).\) Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (0;3) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;3} \right)\\x = - 2 \notin \left( {0;3} \right)\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến biến trên khoảng (-3;1) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1x + 3}}{{2x + 1}} \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right).\)Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \ge m,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow m \le 2.\) Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\) trên khoảng (-3;-1) ta có: \(g'(x) = \frac{{2{x^2} + 2x - 4}}{{{{(2x + 1)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \notin \left( { - 3; - 1} \right)\\x = - 2 \in \left( { - 3; - 1} \right)\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy \(g(x) \le m,\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge - 1.\) Do đó: \(m \in \left[ { - 1;2} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5.\)
Câu 254: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right] \) là \(M = \frac{m}{{{e^n}}},\) trong đó m, n là các số tự nhiên. Tính \(S = {m^2} + 2{n^3}.\) A. S = 22 B. S = 24 C. S = 32 D. S = 135 Spoiler: Xem đáp án \(y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x} \Rightarrow {f'}\left( x \right) = \frac{{2\ln {\rm{x}} - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln {\rm{x}} = 0\\\ln {\rm{x}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\) Ta có: \(f\left( 1 \right) = 0,\,\,f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}},f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}} \Rightarrow \frac{4}{{{e^2}}} = \frac{m}{{{e^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = {m^2} + 2{n^3} = 32.\)\({a^2} + {b^2}.\)
Câu 255: Một vật chuyển động theo quy luật \(s = 9{t^2} - {t^3},\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 5 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 27 m/s. B. 15 m/s. C. 100 m/s. D. 54 m/s. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(s = 9{t^2} - {t^2} \Rightarrow v = s' = 18t - 3{t^2} \Rightarrow v' = 18 - 6t \Leftrightarrow t = 3.\) Khi: \(\begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow v = 27;\,\,t = 5 \Rightarrow v = 15\\ \Rightarrow {v_{\max }} = 27.\end{array}\)
Câu 256: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4\left( {m - 1} \right){{\rm{x}}^2} + 2m - 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng \({120^o}.\) A. \(m = 1 + \sqrt[3]{{16}}\) B. \(m = 1 + \sqrt[3]{{2}}\) C. \(m = 1 + \sqrt[3]{{48}}\) D. \(m = 1 + \sqrt[3]{{24}}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - 4\left( {m - 1} \right){x^2} + 2m - 1\), ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 8\left( {m - 1} \right)x = 4x\left[ {{x^2} - 2(m - 1)} \right].\) Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt hay m>1. Khi đó tọa độ độ các điểm cực trị là: \(A(0;2m - 1);\,B(\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1);C( - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1)\) Ta có: \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\end{array}\) Tam giác ABC cân tại A có một góc bằng \({120^0}\) suy ra: \(\widehat {BAC} = {120^2} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\) \( \Rightarrow \frac{{ - 2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}}{{2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} = \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow m = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{24}}\)
Câu 257: Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}}}}{{x + 1}}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1}{x_2}.\) A. \(P = - 1.\) B. \(P = - 2.\) C. \(P = - 4.\) D. \(P = - 5.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}y = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 + 5}}{{x + 1}} = \frac{{(x + 1)(x - 5) + 5}}{{x + 1}} = x - 5 + \frac{5}{{x + 1}}\\ \Rightarrow y' = 1 - \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\{x^2} + 2{\rm{x}} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = {x_1}{x_2} = - 4.\end{array}\)
Câu 258: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 4.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right).\) B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({y'} = 4{{\rm{x}}^3} - 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right);\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right..\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Câu 259: Cho hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{x + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) B. Hàm số nghịch biến với mọi \(x \ne - 1\) C. Hàm số nghịch biến trên tập \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1\) Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)
Câu 260: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = m\sin x + 7x - 5m + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) A. \(m \le - 7\) B. \( - 7 \le m \le 7\) C. \(m \ge 7\) D. \(m \le - 1\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra hữu hạn điểm. \(y' = m\cos x + 7 \ge 0,\forall x \Leftrightarrow m\cos x \ge - 7,\forall x\) + Với \(m = 0\) thỏa mãn. + Với \(m > 0 \Rightarrow \cos x \ge - \frac{7}{m},\forall x \Leftrightarrow - 1 \ge - \frac{7}{m} \Leftrightarrow m \le 7\) + Với \(m < 0 \Rightarrow \cos x \le - \frac{7}{m},\forall x \Leftrightarrow 1 \le - \frac{7}{m} \Leftrightarrow m \ge - 7\) Kết hợp các kết quả trên có \(m \in \left( { - 7;7} \right).\)
