Câu 261: Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \left( {3{a^2} - 1} \right){x^3} - \left( {{b^3} + 1} \right){x^2} + 3{c^2}x + 4d\) có hai điểm cực trị là \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right).\)Hãy xác định tổng \(M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}.\) A. 18 B. 15 C. -18 D. 8 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2;8} \right)\) thuộc đồ thị hàm số nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3{a^2} - 1} \right) - \left( {{b^3} + 1} \right) + 3{c^2} + 4d = - 7}\\{8\left( {3{a^2} - 1} \right) - 4\left( {{b^3} + 1} \right) + 6{c^2} + 4d = - 7}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{a^2} - {b^3} + 3{c^2} + 4d = - 5\left( * \right)}\\{24{a^2} - 4{b^3} + 6{c^2} + 4d = 4}\end{array}} \right. \Rightarrow 21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9\left( 1 \right)\) \(y' = \left( {9{a^2} - 3} \right){x^2} - \left( {2{b^3} + 2} \right)x + 3{c^2}\) Các điểm \(\left( {1; - 7} \right),\left( {2; - 8} \right)\) là cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'\left( 1 \right) = y'\left( 2 \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5\left( 2 \right)}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\) Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{21{a^2} - 3{b^3} + 3{c^2} = 9}\\{9{a^2} - 2{b^3} + 3{c^2} = 5}\\{36{a^2} - 4{b^3} + 3{c^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 1}\\{{b^3} = 8}\\{{c^2} = 4}\end{array}} \right.\) Thế vào (*) ta được \(d = - 3\) \( \Rightarrow M = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 1 + {2^2} + 4 + {\left( { - 3} \right)^2} = 18.\)
Câu 262: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right].\) A. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = \frac{{19}}{3}\) B. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = 6\) C. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = 7\) D. \(\mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = \frac{{11}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 3 \in \left[ {2;4} \right]}\end{array}} \right.\) \(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {2;4} \right)} y = y\left( 2 \right) = 7\)
Câu 263: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác thực, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[{ - 2;3} \right].\) A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy có hai điểm cực đại thuộc đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\)
Câu 264: Cho \(1 < x < 64.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{x}.\) A. 64 B. 96 C. 82 D. 81 Spoiler: Xem đáp án \(P = \log _2^4x + 12\log _2^2x.{\log _2}\frac{8}{2} = \log _2^4x + 12\log _2^2x.\left( {3 - {{\log }_2}x} \right)\) \( = \log _2^4x - 12\log _2^3x + 36\log _2^2x\) Đặt \(t = {\log _2}x\) Do \(1 < x < 64 \Rightarrow 0 < t < 6\) Xét hàm số \(P = {t^4} - 12{t^3} + 36{t^2}\) trên \(\left( {0;6} \right)\) \(P'\left( t \right) = 4{t^3} - 36{t^2} + 72t;P'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 6}\\{t = 3 \in \left( {0;6} \right)}\end{array}} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} P = P\left( 3 \right) = 81.\)
Câu 265: Cho hàm số \(y = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x - 2}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 3. B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 4. C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0. D. Giá trị cực đại của hàm số bằng 1. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x - 2}}\) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\) Ta có \(y' = \frac{{2(x - 1)(x - 2) - {{(x - 1)}^2}}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại y=0.
Câu 266: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^4}x + {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\sin x\cos x.\) A. \({\rm{max y = }}\frac{7}{8}.\) B. \({\rm{max y = }}\frac{5}{4}.\) C. \({\rm{max y = }}\frac{{17}}{{16}}.\) D. \({\rm{max y = }}\frac{{15}}{{16}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2} + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\) \( = \frac{{1 + 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x}}{4} + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x\) \( = \frac{3}{4} + \frac{{{{\cos }^2}2x + \sin 2x}}{4} = \frac{3}{4} + \frac{{1 - {{\sin }^2}2x + \sin 2x}}{4}\) Xét hàm số \(f(x) = 1 - {\sin ^2}2x + \sin 2x\) Đặt \(t = \sin 2x,\) ta có hàm số: \(g(t) = 1 - {t^2} + t,t \in \left( { - 1;1} \right)\) \(\begin{array}{l}g'(t) = - 2t + 1\\g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\end{array}\) Ta có: \(g( - 1) = - 1;g(1) = 1;g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{4}\) Vậy \(\max g(t) = \max f(x) = \frac{5}{4}\) Suy ra: \(\max y = \frac{3}{4} + \frac{{\frac{5}{4}}}{4} = \frac{{17}}{{16}}.\)
Câu 267: Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2017.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0). C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x({x^2} - 1).\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\) Bảng dấu: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {0;1} \right).\) Nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 268: Một khối gỗ hình trụ có chiều cao 2m người ta xẻ bớt phần vỏ của khối gỗ đó theo bốn mặt phẳng song song với trục để tạo thành một khối gỗ hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất bằng 1m3. Tính đường kính của khối gỗ hình trụ đã cho. A. \(100cm.\) B. \(60cm.\) C. \(120cm.\) D. \(50cm.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi R là bán kính đường tròn đáy của khối trụ hình gỗ. Và khối gỗ hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn. Gọi x, y là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật \({x^2} + {y^2} = 4{R^2}\) (1) Thể tích của hình hộp chữ nhật là \(V = S.h = 2.S{}_{hcn} = 2xy \le {x^2} + {y^2} = 1.\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow 4{R^2} = 1 \Leftrightarrow R = \frac{1}{2}m \Rightarrow R = 50cm.\) Suy ra đường kính là 2R=100cm.
Câu 269: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}}.\) Tính giá trị biểu thức \(P = M + {\left( {\frac{{2m}}{9}} \right)^3}.\) A. \(P = \frac{{10}}{3}.\) B. \(P = 1.\) C. \(P = \frac{{35}}{3}.\) D. \(P = \frac{{32}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = {3^{2{{\sin }^2}x}} + {3^{1 - {{\sin }^2}x}} = 3 = {({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \frac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}}\) Đặt \(t = {3^{{{\sin }^2}x}}\) do \(0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 1 \le {3^{{{\sin }^2}x}} \le 3 \Rightarrow t \in \left( {1;3} \right)\) khi đó \({({3^{{{\sin }^2}x}})^2} + \frac{3}{{{3^{{{\sin }^2}x}}}} = {t^2} + \frac{3}{t}\) Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^2} + \frac{3}{t}\) với \(t \in \left( {1;3} \right).\) Ta có \(g'\left( t \right) = 2t - \frac{3}{{{t^2}}};g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt(3){{\frac{3}{2}}}\) Ta có \(f\left( 1 \right) = 4;f\left( 3 \right) = 10;f\left( {\sqrt(3){{\frac{3}{2}}}} \right) = \sqrt(3){{\frac{{243}}{4}}} \Rightarrow M = 10;m = \sqrt(3){{\frac{{243}}{4}}} \Rightarrow P = \frac{{32}}{3}.\)
Câu 270: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) A. \(\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right).\) B. \(\left( { - 2;\frac{1}{2}} \right).\) C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right].\) D. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{2m - 1}}{{{{(x + m)}^2}}}\) Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có y’=0. Hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi: \(y' = \frac{{2m - 1}}{{{{(x + m)}^2}}} < 0,\left( {\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 < 0\\ - m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le \frac{1}{2}.\)
