Câu 271: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến một hòn đảo ở vị trí C theo đường gấp khúc ASC(S là một vị trí trên đất liền) như hình vẽ. Biết BC=1 km, AB= 4 km, 1km dây điện đặt dưới nước có giá 5000 USD, 1 km dây điện đặt dưới đất có giá 3000 USD. Hỏi điểm S cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. A. \(\frac{{15}}{4}km\) B. \(\frac{{13}}{4}km\) C. \(\frac{{10}}{4}km\) D. \(\frac{{19}}{4}km\) Spoiler: Xem đáp án Gọi SA=x, ta có: BS=4-x. Suy ra:\(SC = \sqrt {B{S^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{(4 - x)}^2} + {1^2}}\) Số tiền cần để mắc là:\(5.\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} + 3x\) (nghìn USD) Xét hàm số: \(f(x) = 5.\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} + 3x,0 < x < 4\) Ta có: \(f'(x) = 5.\frac{{\left[ {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + 1} \right]'}}{{2\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} + 3 = \frac{{5(x - 4)}}{{\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} + 3\) \(f'(x) = \frac{{5(x - 4) + 3\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }}{{\sqrt {{{(4 - x)}^2} + 1} }} \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{4}\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{13}}{4}\)
Câu 272: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\sin x + m}}{{\sin x - m}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right).\) A. \(m\leq 0\) hoặc \(m\geq 1\) B. m > 0 C. \(0<m\leq 1\) D. \(m\geq 1\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{\sin x - m + 2m}}{{sinx - m}} = 1 + \frac{{2m}}{{\sin x - m}}\) \(y' = \frac{{ - 2m\cos x}}{{{{(\sin x - m)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\) Ta có: \(\cos x < 0,\forall x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) Nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) khi m>0.
Câu 273: Tìm m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{{\rm{x}}^2} + \left( {{m^2} - 1} \right){\rm{x}} + 1\) đạt cực đại tại x=1. A. 1 B. 0 C. 2 D. -2 Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{{\rm{x}}^2} + \left( {{m^2} - 1} \right){\rm{x}} + 1\) \(y' = {x^2} - 2mx + ({m^2} - 1)\) \(y'' = 2x - 2m\) Để hàm số đạt cực trị tại x=1 thì: \(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m + ({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 0 \end{array} \right.\) Với m=0 ta có: \(y''(1) = 2 > 0\) Với m=2 ta có: \(y''(1) = - 2 < 0\) Thử lại với m=2 hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 274: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^4} + (6m - 4){x^2} + 1 - m\) là ba đỉnh của một tam giác vuông. A. \(m=\frac{2}{3}\) B. \(m=\frac{1}{3}\) C. \(m=-1\) D. \(m=\sqrt[3]{3}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} + (6m - 4){x^2} + 1 - m\) Ta có: \(y' = 4{x^3} - 2(6m - 4)x = {x^3} + (3m - 2)x = x({x^2} + 3m - 2\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} + 3m - 2 = 0\,(*) \end{array} \right.\) Để hàm số có ba điểm cực trị thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Hay: \(\left\{ \begin{array}{l} 3m - 2 \ne 0\\ 2 - 3m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}\) Loại A và D. Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của (*) ta có: \({x_1} = \sqrt {2 - 3m} ;{x_2} = - \sqrt {2 - 3m}\) Suy ra: \(\begin{array}{l} y\left( {{x_1}} \right) = y({x_2}) = {(2 - 3m)^2} + (6m - 4)(2 - 3m) + 1 - m\\ = 4 - 12m + 9{m^2} + 12m - 18{m^2} - 8 + 12m + 1 - m\\ = - 9{m^2} + 11m - 3 \end{array}\) Tọa độ 3 điểm cực trị là: \(A(0;1 - m);{\bf{B}}( - \sqrt {2 - 3m} ; - 9{m^2} + 11m - 3);C(\sqrt {2 - 3m} ; - 9{m^2} + 11m - 3);\) Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương ta có tam giác ABC cân tại A, nên nếu ABC vuông thì vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(M(0; - 9{m^2} + 11m - 3)\) Ta có: \(BC//Ox \Rightarrow BC = 2\sqrt {2 - 3m}\) AM thuộc Oy nên: \(AM = \left| { - 9{m^2} + 11m - 3 - 1 + m} \right| = \left| { - 9{m^2} + 12m - 4} \right|\) Do ABC là tam giác vuông nên: \(AM = \frac{1}{2}BC \Leftrightarrow \left| { - 9{m^2} + 12m - 4} \right| = \sqrt {2 - 3m}\) Thay giá trị m ở câu B và C ta thấy \(m=\frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.
Câu 275: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\frac{1}{2}} \right].\) A. \(M = - \frac{7}{2}\) B. \(M = - 3\) C. \(M = 1\) D. \(M = -\frac{13}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - x - 2x + 2 + 1}}{{x - 1}} = x - 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) \(\Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\) \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) Tính \(y( - 2) = \frac{{ - 13}}{3};y(0,5) = \frac{{ - 7}}{2};y(0) = - 3\) Vậy giá trị lớn nhất sẽ là M=-3.
Câu 276: Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2.\) A. \(y_{CT}=2\) B. \(y_{CT}=-2\) C. \(y_{CT}=-4\) D. \(y_{CT}=6\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = - 3{x^2} + 6;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu \({y_{ct}} = y(0) = 2.\)
Câu 277: Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} - x\ln x\). Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1;2]. Tính M.N. A. \(M.N = 2\sqrt 7 + 4\ln 5\) B. \(M.N = 2\sqrt 7 - 4\ln 2\) C. \(M.N = 2\sqrt 7 - 4\ln 5\) D. \(M.N = 2\sqrt 7 + 4\ln 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 3} - x\ln x} \right)' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - (\ln x + 1)\) Với \(x\in \left [ 1;2 \right ]\) ta có: \(y' = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 3} }}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} - \ln x < 0\;(\forall x \in [1;2])\) Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=1 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x=2. Do đó \(M.N = f(1).f(2) = 2.\left( {\sqrt 7 - 2\ln 2} \right)\)
Câu 278: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x - \frac{1}{3}\).Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (1; 3) B. (-1; 1) C. (-1; 0) D. (0; 3) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 < 0\) \(\Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3\) Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).
Câu 279: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích 150m3. Đáy bể làm bằng bê tông giá 100000 đ/ m2. Phần thân làm bằng tôn giá 90000đ/m2 nắp bằng nhôm giá 120000đ/m2. Hỏi khi chi phí sản xuất bể đạt mức thấp nhất thì tỉ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu? A. \(\frac{22}{9}\) B. \(\frac{9}{22}\) C. \(\frac{31}{2}\) D. \(\frac{21}{32}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi bán kính đáy là R, chiều cao là h. Ta có \(V = \pi {R^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {R^2}}}(*)\) Diện tích đáy là \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm đáy là: \(10 \pi R^2\) (chục nghìn đồng) Diện tích thân là: \(2\pi Rh = 2\pi R.\frac{{150}}{{\pi {R^2}}} = \frac{{300}}{R}\) suy ra chi phí làm thân là: \(9.\frac{{300}}{R} = \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng) Diện tích nắp là: \(\pi R^2\) suy ra chi phí làm nắp là: \(12 \pi R^2\) Chi phí sản xuất bể là: \(10\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R} + 12\pi {R^2} = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R}\) (chục nghìn đồng). Xét hàm số \(f(R) = 22\pi {R^2} + \frac{{2700}}{R},R > 0\) \(f'(R) = 44\pi R - \frac{{2700}}{{{R^2}}}\) \(f'(R) = 0 \Leftrightarrow \frac{{44\pi {R^3} - 2700}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}\) Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(R = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}.\) Từ (*) ta có: \(\frac{h}{R} = \frac{{150}}{{\pi {R^3}}} = \frac{{22}}{9}.\)
Câu 280: Tìm giá trị lớn nhất M của \(P = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{{{\cos }^2}x}}.\) A. M=3 B. M=2 C. M=4 D. M=5 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(P = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{1 - {{\sin }^2}x}} = {2^{{{\sin }^2}x}} + \frac{2}{{{2^{{{\sin }^2}x}}}}\) Đặt: \(t = {2^{{{\sin }^2}x}} \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow P = t + \frac{2}{t}\) \(\Rightarrow P'(t) = 1 - \frac{2}{{{t^2}}} \Rightarrow P'(t) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{{t^2}}} = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = \sqrt 2 }\\ {t = - \sqrt 2 \;(loai)} \end{array}} \right.\) Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {P(1) = 3}\\ {P(2) = 3}\\ {P(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow MaxP = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0}\\ {t = 2 \Leftrightarrow \cos x = 0} \end{array}} \right.\)
