Câu 281: Để hàm số $y = \frac{{{x^2}+mx+1}}{{x+m}}$ đạt cực đại tại x= 2 thì m thuộc khoảng nào? A. (0;2) B. (-4;-2) C. (-2;0) D. (2;4) Spoiler: Xem đáp án Ta có: $y = \frac{{{x^2}+mx+1}}{{x+m}} = x+ \frac{1}{{x+m}} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{{(x+m)}^2}}} \Rightarrow y'' = \frac{2}{{{{(x+m)}^3}}}$ Hàm số đạt cực đại tại x=2, khi đó: \(y'(2) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{(2 + m)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {(2 + m)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3}\\ {m = - 1} \end{array}} \right.\) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3 \Rightarrow y''(2) = - 1 < 0}\\ {m = - 1 \Rightarrow y''(2) = 1 > 0} \end{array}} \right.\) Thử lại với \(m= - 3 \in ( - 4; - 2)\) thì hàm số đạt cực đại tại x=2.
Câu 282: Tìm điểm cực tiểu của hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\). A. \(x=-4\) B. \(x=4\) C. \(x=2\) D. \(x=-2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\) Mặt khác, \(y'' = \frac{8}{{{x^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{y''(2) = 1}}}\\ {y''( - 2) = - 1} \end{array}} \right.\) Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2.
Câu 283: Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4 dm3. A. 1 dm B. 1,5 dm C. 2 dm D. 0,5 dm Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h. Diện tích đáy là: a2. Diện tích xung quanh là: 4ah Ta có:\(V = {a^2}h = 4 \Rightarrow ah = \frac{4}{a}(*)\) Lượng vàng cần phải dùng là: \({a^2} + 4ah = {a^2} + \frac{{16}}{a}\) Xét hàm số \(f(a) = {a^2} + \frac{{16}}{a},a > 0\) Ta có: \(f'(a) = 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}}\) \(f'(a) = 0 \Leftrightarrow 2a - \frac{{16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{a^3} - 16}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow a = 2\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=2, thay vào (*) suy ra h=1.
Câu 284: Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2). A. \(3{e^3} + 1 \le m \le 3{e^4} + 1\) B. \(m \ge 3{e^4} + 1\) C. \(3{e^2} + 1 \le m \le 3{e^3} + 1\) D. \(m < 3{e^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y'=\left [ \left ( \frac{4}{2017} \right ) ^{3x-(m-1)e^x+1}\right ]'= \ln \frac{4}{{2017}}.{\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x - (m - 1){e^x} + 1}}}}.\left[ {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x}} \right]\) Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x} < 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3{e^{2x}} + 1 = f(x)}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right.\) Xét hàm số \(f(x) = 3{e^{2x}} + 1\) Có \(f'(x) = 6{e^{2x}} > 0,\forall x \in (1;2)\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi \(m \ge 3{e^4} + 1.\)
Câu 285: Cho đồ thị của ba hàm số \(y = f(x),y = f'(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t}\) ở hình dưới. Xác định xem \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)\) tương ứng là đồ thị hàm số nào? A. \(y = f'(x),y = f(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t}\) B. \(y = f(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,y = f'(x)\) C. \(y = f(x),y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,y = f'(x)\) D. \(y = \int\limits_0^x {f\left( t \right){\rm{d}}t} ,y = f'(x),y = f(x)\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị các hàm số ta thấy, đồ thị (C3) đạt cực trị tại các điểm mà ở đó hàm số có đồ thị (C1) đổi dấu. Suy ra hàm số có đồ thị (C1) là đạo hàm của hàm số có đồ thị (C3). Do đó (C) là phương án đúng.
Câu 286: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 3\,\,\,\left( {{C_m}} \right)\), với m là tham số. Xác định tất cả giá trị của m để cho đồ thị hàm số \((C_m)\) có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung? A. \(m \in \left( {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) B. \(0 < m < 2\) C. \(m\neq 1\) D. \(- \frac{1}{2} < m < 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + 2m - 1.\) Đồ thị hàm số \((C_m)\) có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung, khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \ne 0\\ \Delta ' = {m^2} - \left( {2m - 1} \right) > 0\\ P = 2m - 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m > \frac{1}{2} \end{array} \right.\)
Câu 287: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. \(\forall m<1\) thì hàm số có hai điểm cực trị B. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu C. \(\forall m \neq 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} + 2mx + \left( {2m - 1} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + \left( {2m - 1} \right) = 0\) Khi đó \(\Delta {'_{y'}} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 0 = {\left( {m - 1} \right)^2}\) Với \(m = 1 \Rightarrow y' = 0\) có nghiệm kép suy ra hàm số không có điểm cực trị. Với \(m \ne 1 \Rightarrow y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 288: Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}x - \sqrt x .\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có một cực tiểu duy nhất là y=1. B. Hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu duy nhất là \(y =- \frac{1}{2}\) C. Hàm số đã cho không có cực trị. D. Hàm số đã cho chỉ có cực đại duy nhất là \(y =- \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{1}{2}x - \sqrt x\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right),\) ta có: \(y'= \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}} \right),\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Mặt khác, \(y'' = \frac{1}{{4\sqrt {{x^3}} }} \Rightarrow y''\left( 1 \right) > 0 \Rightarrow x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(y =- \frac{1}{2}\) là cực tiểu của hàm số.
Câu 289: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3]. A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3] ta có: \(f'(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}; \forall x\in [0;3]\) Phương trình \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 3\\ {x^2} + 2x - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\) Tính giá trị \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( 1 \right) = - 1,\,\,f\left( 3 \right) = 0.\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;3] là 0.
Câu 290: Hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 5\) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \((1;+\infty )\) C. \(\left( { - \infty ; 1} \right)\) D. \(\left( { -1 ; 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({y'} = - 3{x^2} + 3,\,\,y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { -1 ; 1} \right)\)
