Câu 21: Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{\sin ^2}\left( {3x - 1} \right)\). Tập giá trị của hàm số \(f'\left( x \right)\) là: A. \(\left[ { - 12;12} \right]\) B. \(\left[ { - 2;2} \right]\) C. \(\left[ { - 4;4} \right]\) D. \(\left[ {0;4} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = \left[ {4{{\sin }^2}\left( {3x - 1} \right)} \right]' = 12\sin \left( {6x - 2} \right)\) Ta có \(\sin \left( {6x - 2} \right) \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 12\sin \left( {6x - 2} \right) \in \left[ { - 12;12} \right] \Leftrightarrow f'\left( x \right) \in \left[ { - 12;12} \right].\)
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m diể đồ thị của hàm số \(y = m{x^3} - 3{x^2} + (1 - m)x - 2\) có đúng hai điểm cực trị và hai điểm đó nằm ở hai phía của trục tung. A. 0<m<1 B. m>1 C. m<0 D. m<0 hoặc m>1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3m{x^2} - 6x + 1 - m.\) Đồ thị hàm số \(y = m{x^3} - 3{x^2} + (1 - m)x - 2\) có đúng hai điểm cực trị và hai điểm đó nằm ở hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: \(a.c < 0 \Leftrightarrow 3m.(1 - m) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 1\end{array} \right.\) Vậy tất cả các giá trị thực m cần tìm là m < 0 hoặc m >1.
Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x) = (m + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + (m + 1)x}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) A. \(m < - 1\) B. \(m = - 1\) C. \(m \le - 1.\) D. Không tồn tại m. Spoiler: Xem đáp án Ta có f(x) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f'(x) = (m + 1)c{\rm{os}}x + m + 1 \le 0\,\,\forall x\) (đẳng thức xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm) \( \Leftrightarrow g(t) = (m + 1)t + m + 1 \le 1,\,\forall t \in {\rm{[}} - 1;1]\) (đẳng thức xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g( - 1) \le 0\\g(1) \le 0\end{array} \right.(m \ne - 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le 0\\2m + 2 \le 0\end{array} \right.(m \ne - 1) \Leftrightarrow m < - 1.\) Vậy giá trị m phải tìm là m < -1.
Câu 24: Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f(t) = 30{t^2} - {t^3}.\) Nếu coi f là hàm số xác định trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) thì f’(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất. A. t = 10 B. t = 15 C. t = 20 D. t=30. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'(t) = 60t - 3{t^2}\) \(f''(t) = 60 - 6t,f''(t) = 0 \Leftrightarrow t = 10.\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào ngày thứ 10.
Câu 25: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số f(x) đồng biến trên (0;1] B. Hàm số f(x) nghịch biến trên [-1;0) C. Hàm số f(x) nghịch biến trên (-1;1) D. Hàm số f(x) nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'(x) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \le 0,\forall x \in {\rm{[}} - 1;0),f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow f(x)\) nghịch biến trên [-1;0).
Câu 26: Tìm giá trị cực đại \({y_{C{\rm{D}}}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 5.\) A. \({y_{CD}} = 0.\) B. \({y_{CD}} = 1.\) C. \({y_{CD}} = 5.\) D. \({y_{CD}} = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Giải phương trình y’=0 ta được hai nghiệm x=0 và x=2. - Vì hàm đơn giản nên có thể xét dấu của y’ để có hàm đạt cực đại tại x=0; y(0)=5 nên chọn C. - Có thể tính y’’ để thấy y’(0) <0 nên hàm đạt cực đại tại x=0.
Câu 27: Cho hàm số \(f(x) = - {x^4} - 1.\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. f(x) có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. B. f(x) có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. C. f(x) có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. D. f(x) không có điểm cực trị. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'(x) = - 4{x^3}\)có một nghiệm duy nhất là x=0 và đổi dấu từ dương sang âm khi x qua nghiệm (theo chiều tăng). Vậy f(x) có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
Câu 28: Gọi \({x_1},{x_2}\) là các điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} - 4x - 10\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right)\) là: A. 49 B. 1 C. 4 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {x^2} - mx - 4\). Lại có \(ac = - 4 < 0 \Rightarrow \) PT \(y' = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = m}\\{{x_1}.{x_2} = - 4}\end{array}} \right.\) Suy ra \(S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 9} \right) = {\left( {{x_1}.{x_2}} \right)^2} - 9x_1^2 - x_2^2 + 9 = 25 - \left( {9x_1^2 + x_2^2} \right)\) Ta có \(9x_1^2 + x_2^2 \ge 2\sqrt {9x_1^2.x_2^2} = 2\sqrt {9{{\left( { - 4} \right)}^2}} = 24 \Rightarrow 25 - \left( {9x_1^2 + x_2^2} \right) \le 1 \Leftrightarrow S \le 1 \Rightarrow \max S = 1.\)
Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x + \sqrt y = 2}\\{{x^3} + {y^3} = m}\end{array}} \right.\) có nghiệm. A. \(m \ge 2\) B. \(2 \le m \le 64\) C. \(m \ge 0\) D. \(m \le 64\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\sqrt x + \sqrt y = 2 \Leftrightarrow x + y + 2\sqrt {xy} = 4 \Rightarrow x + y = 4 - 2\sqrt {xy} \le 4\) Mặt khác \(2 = \sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } \Rightarrow x \le 1 \Rightarrow x + y \ge 2\) Đặt \(x + y = t \Rightarrow xy = {\left( {2 - \frac{t}{2}} \right)^2},t \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3y\left( {x + y} \right) = {t^3} - 3t{\left( {2 - \frac{t}{2}} \right)^2}\) Suy ra \({x^3} + {y^3} = m \Leftrightarrow {t^3} - 3t{\left( {2 - \frac{t}{2}} \right)^2} = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{4} + 6{t^2} - 12t = m\) Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{3}{4}{t^2} + 12t - 12 > 0,\forall t \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {2;4} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 4 \right)\) Suy ra hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \( \Leftrightarrow f\left( 2 \right) \le m \le f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 2 \le m \le 64.\)
Câu 30: Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) là: A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\) B. \(\left[ { - 2;4} \right]\) C. \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 2;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left[ {{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 1} \right]' = 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\) Suy ra \(\Delta '\left( {y'} \right) \le 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;4} \right].\)
