Câu 291: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2{x^3} - m{x^2} + 2x\) đồng biến trên khoảng (-2;0). A. \(m \ge - 2\sqrt 3\) B. \(m \le 2\sqrt 3\) C. \(m \ge - \frac{{13}}{2}\) D. \(m \ge \frac{{13}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 6{x^2} - 2mx + 2\). Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right).\) \(\Leftrightarrow mx \le 3{x^2} + 1,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) \(\Leftrightarrow m \ge 3x + \frac{1}{x},\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { - 2;0} \right)} f\left( x \right)\) Xét \(f\left( x \right) = 3x + \frac{1}{x}\) với \(x \in \left( { - 2;0} \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( L \right)}\\ {x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \end{array}} \right.\) Lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \frac{{ - 13}}{2}\) và \(f\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = - 2\sqrt 3\) Vậy \(m \ge - 2\sqrt 3\)
Câu 292: Hàm số \(y = {x^4} - 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. \((-1;1)\) B. \((-\infty ;0)\) C. \((0;+\infty)\) D. \((-1;+\infty)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = 4{x^3} > 0 \Leftrightarrow x > 0\) do đó hàm số đồng biến trên \((0;+\infty)\)
Câu 293: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\) Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. Có 3 điểm cực trị B. Không có cực trị C. Chỉ có 1 điểm cực trị D. Có 2 điểm cực trị Spoiler: Xem đáp án Ta thấy f’(x) đổi dấu qua các điểm x=0 và x=-1 nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 294: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên nửa khoảng [-3;2) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right)} y = - 2\) B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;2} \right)} y = 3\) C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 1 D. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng BT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu bằng -5, cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.
Câu 295: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} .\) Tính M+m. A. \(M + m = 16\) B. \(M + m = \frac{{12 + 3\sqrt 6 + 4\sqrt {10} }}{2}\) C. \(M + m = \frac{{16 + 3\sqrt 6 + 4\sqrt {10} }}{2}\) D. \(M + m = 18\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \ge 0}\\ {5 - x \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 5 \Rightarrow D = \left[ {1;5} \right]\) Khi đó \(y' = \left( {3\sqrt {x - 1} + 4\sqrt {5 - x} } \right)' = \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }}\) \(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{2\sqrt {x - 1} }} - \frac{2}{{\sqrt {5 - x} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{61}}{{25}}\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 1 \right) = 8}\\ {y\left( {\frac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {M = \max y = y\left( {\frac{{61}}{{25}}} \right) = 10}\\ {m = Miny = y\left( 5 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = 16.\)
Câu 296: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 1\) trên đoạn [-3;2]. A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 8\) B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 1\) C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 3\) D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left( {{x^2} - 1} \right)' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { - 3} \right) = 8}\\ {y\left( 0 \right) = - 1} \end{array}}\\ {y\left( 2 \right) = 3} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = - 1.\)
Câu 297: Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$? A. \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) B. \(y = \frac{1}{{{3^x}}}\) C. \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) D. \(y =3^x\) Spoiler: Xem đáp án Xét các hàm số ta có: \(\left[ {{{\log }_{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{ - 4x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0 \Rightarrow\) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \(\left( {\frac{1}{{{3^x}}}} \right)' = - \frac{{\ln 3}}{{{3^x}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) Hàm số \(y = \frac{1}{{{3^x}}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) \(\left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow\) Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) \(\left( {{3^x}} \right)' = {3^x}\ln 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow\) Hàm số \(y =3^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 298: Tìm điểm cực tiểu yCT của hàm số $y = {x^3}+3{x^2} - 9x$. A. \({x_{CT}} = 0\) B. \(x_{CT} = 1\) C. \(x_{CT} =- 1\) D. \(x_{CT} =- 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 9;y = 6x + 6.\) Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = - 3} \end{array}} \right.\) và \(y\left( 1 \right) = 12 > 0.\) Suy ra x=1 là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 299: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng dể sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh của thùng đó là 100.000 đ/m2 chi phí để làm mặt đáy là 120.000 đ/m2. Hãy tính số thùng sơn tối đa mà công ty đó sản xuất được (giả sử chi phí cho các mỗi nối không đáng kể). A. 12525 đồng B. 18209 đồng C. 57582 đồng D. 58135 đồng Spoiler: Xem đáp án Gọi R là bán kính đường tròn đáy có \(V = \pi {R^2}h = {5.10^{ - 3}} \Rightarrow h = \frac{{{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi {R^2}}}\) Số tiền làm mặt xung quanh là: \({10^5}.{S_{xq}} = {10^5}.2\pi Rh = \frac{{{{10}^3}}}{R}.\) Số tiền làm hai mặt đáy là: \(2\pi {R^2}{.12.10^4}.\) Số tiền làm một hộp là: \(T = \frac{{{{10}^3}}}{R} + {24.10^4}.\pi .{R^2}\) Ta có: \(T' = - \frac{{{{10}^3}}}{{{R^2}}} + {48.10^4}\pi R = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\) Dễ thấy T đạt giá trị nhỏ nhất khi \(R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{480\pi }}}}\) Vậy chi phí thấp nhất để sản xuất 1 thùng là: \({T_{\min }} = 3\sqrt[3]{{\frac{3}{{3200{\pi ^2}}}}}.\) Khi đó số thùng tối đá sản suất được là:\(n = \frac{{1.000.000}}{{{T_{\min }}}} = 58135\) thùng.
Câu 300: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên \(\left[ {1;{e^3}} \right].\) A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}\) B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{4}{{{e^2}}}\) C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{9}{{{e^2}}}\) D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^3}} \right]} y = \frac{1}{e}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^3}} \right]\), ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2\ln x.\frac{1}{x}.x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}};\forall x \in \left[ {1;{e^3}} \right]\) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln x = 0}\\ {\ln x = 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = {e^2}} \end{array}} \right.\). Tính giá trị \(f\left( 1 \right) = 0;f\left( {{e^2}} \right) = \frac{4}{{{e^2}}};f\left( {{e^3}} \right) = \frac{9}{{{e^3}}}\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right]} = \frac{4}{{{e^2}}}\).
