Câu 301: Cho các số thực x, y thỏa mãn \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy.\) A. \(\min P = - 83\) B. \(\min P = - 63\) C. \(\min P = - 80\) D. \(\min P = -91\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right)\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4\left( {x + y} \right) + 8\sqrt {x - 3} .\sqrt {y + 3} \ge 4\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y \ge 4}\\ {x + y \le 0} \end{array}} \right.\) Mặt khác \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3} + \sqrt {y + 3} } \right) \le 2\sqrt {2\left( {x + y} \right)} \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\) Xét biểu thức \(P = 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 15xy = 4{\left( {x + y} \right)^2} + 7xy\) Đặt \(t = x + y \in \left[ {4;8} \right] \Rightarrow P = 4{t^2} + 7xy\). Lại có: \(\begin{array}{l} \left( {x + 3} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - 3\left( {x + y} \right) - 9\\ \Rightarrow P \ge 4{\left( {x + y} \right)^2} - 21\left( {x + y} \right) - 63 = 4{t^2} - 21t - 63 \end{array}$\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 21t - 63\) trên đoạn [4;8] suy ra \({P_{\min }} = f\left( 7 \right) = - 83\)
Câu 302: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} - 2m{x^2}\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty ).\) A. \(m \le - 1\) B. \(m =-1\) hoặc \(m > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) C. \(m \le - 1\) hoặc \(m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) D. \(m \le - 1\) hoặc \(m>1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 4\left( {{m^2} - 1} \right){x^3} - 4mx\) Với \(m = - 1 \Rightarrow y' = 4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\) nên hàm số đồng biến trên \((1;+\infty ).\) Với \(m = 1 \Rightarrow y' = - 4x > 0 \Leftrightarrow x < 0\) nên hàm số không đồng biến trên \((1;+\infty ).\) Với \(m \ne \pm 1\) để hàm số đồng biến trên \((1;+\infty )\) thì \(\left[ {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} - m} \right]x \ge 0,\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)} \right).\) \(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} \ge m\left( {\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 1 > 0}\\ {\left( {{m^2} - 1} \right).{{\left( 1 \right)}^2} \ge m} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.} \right.\) (do \(y = {m^2} - 1,y = m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}, y=x^2\) đồng biến trên \((1;+\infty )\)) Kết hợp ta có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\ {m \le - 1} \end{array}} \right.\) là giá trị m cần tìm.
Câu 303: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(M + m = \frac{8}{3}\) B. \(M + m = \frac{4}{3}\) C. \(M + m = \frac{7}{2}\) D. \(M + m = \frac{16}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}};y' = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1}\\ {x = 3 \notin \left[ { - 1;\frac{3}{2}} \right]} \end{array}} \right.\) Tính giá trị \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( { - 1} \right) = - \frac{2}{3}}\\ {f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{3}{2}}\\ {y\left( 3 \right) = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - \frac{2}{3}}\\ {M = 6} \end{array}} \right. \Rightarrow M + m = \frac{{16}}{3}.\)
Câu 304: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right),x \in\mathbb{R} .\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x=2. C. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=-2. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = \pm 2} \end{array}} \right.\) \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 8x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 2 \right) = 16 > 0}\\ {f\left( { - 2} \right) = - 16 < 0} \end{array}} \right.\) Do đó hàm số đạt cực đại tại x=-2 và hàm số đạt cực tiểu tại x=2. Khi đó x=0 thì đạo hàm f’(x) không đổi dấu nên f(x) không đạt cực trị tại x=0.
Câu 305: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + m{x^2} - x\) có 2 điểm cực trị. A. \(\left| m \right| \ge 2\sqrt 3\) B. \(\left| m \right| > 2\) C. \(\left| m \right| > \sqrt 3\) D. \(\left| m \right| \ge \sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = - 3{x^2} + 2mx - 1\) Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = {m^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow \left| m \right| > \sqrt 3 .\)
Câu 306: Cho hàm số \(y = \frac{x}{{{2^x}}}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu. B. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu. C. Hàm số đã cho có điểm cực đại. D. Hàm số đã cho không có điểm cực trị. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = \frac{x}{{{2^x}}} = x{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) \(\Rightarrow y' = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} + x{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\left( {1 + x\ln \frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\left( {1 - x\ln 2} \right)\) Do đó \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\ln 2}}\). Mà \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \frac{1}{2}.\left( {1 - x\ln 2} \right) + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\left( { - \ln 2} \right)\) \(\Rightarrow y\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right) = 0 + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{{\ln 2}}}}\left( { - \ln 2} \right) < 0 \Rightarrow\) hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{1}{{\ln 2}}.\)
Câu 307: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\) C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên (1;2). Do đó mệnh đề C sai.
Câu 308: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4\) có đúng hai cực trị. A. \(m < \frac{4}{3}\) B. \(m > - \frac{2}{3}\) C. \(m < - \frac{2}{3}\) D. \(m > - \frac{4}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} + {x^2} - 2m - 1\). Hàm số có đúng hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = 1 + 3.\left( {2m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{2}{3}\).
Câu 309: Cho hàm số \(y = - 2{x^3} + \left( {2m - 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x + 2\). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị. A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = - 6x^2 + 2\left( {2m - 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right)\). Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = - 2{m^2} - 4m + 6 > 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 1\). Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 310: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = m{x^4} + \left( {{m^2} - 2} \right){x^2} + 2\) có hai cực tiểu và một cực đại. A. \(m < - \sqrt 2\) hoặc \(0 < m < \sqrt 2 .\) B. \(- \sqrt 2 < m < 0.\) C. \(m < - \sqrt 2\) D. \(0 < m < \sqrt 2 .\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có hai cực tiểu và một cực đại khi và chỉ khi a<0 và ab<0. Hay \(\left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ \left( {{m^2} - 2} \right) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \sqrt 2 .\)
