Câu 311: Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu. B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.. C. Hàm số có một cực đại và không có cực tiểu. D. Hàm số có một cực đại và một cực tiểu Spoiler: Xem đáp án \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1 \Rightarrow y' = - 4{x^3} + 4x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1\\ x = 0 \end{array} \right.\) Ta có: Vậy hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.
Câu 312: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((2;+\infty)\) Spoiler: Xem đáp án Do \(y' = 3{x^2} - 6x.\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) Vậy mệnh đề đúng là: “Hàm số nghịch biến trên khoảng ”.
Câu 313: Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\). B. \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\) C. \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) Ta có \(y' = \frac{{3x - 2}}{{\sqrt {{{({x^2} - 1)}^3}} }}\). Phương trình y’=0 vô nghiệm. \(y' < 0 \Leftrightarrow x < - 1.\) Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Câu 314: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} - 4x + \frac{{54}}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) A. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 0\) B. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 13\) C. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = 23\) D. \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = - 21\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 2x - 4 - \frac{{54}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^3} - 27} \right]}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) . \(y' = 0 \Rightarrow x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5;\,y\left( 5 \right) = 23.\) Bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(\mathop {\min y}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} = y\left( 5 \right) = 23\).
Câu 315: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $$ có nghiệm. A. \(- 1 \le m \le 2\sqrt 3.\) B. \(0 \le m \le 15.\) C. \(m\geq -1\) D. \(m\geq 0\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện đối với \(x\in \left [ -1;5 \right ]\) Đặt \(t = \sqrt {5 + 4x - {x^2}} \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\) Khi đó phương trình trở thành \(m=2t+t^2\). Tìm GTLN – GTNN của hàm \(g\left( t \right) = {t^2} + 2t,t \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow 0 \le g\left( t \right) \le 15.\) Vậy để phương trình có nghiệm thì \(0 \le m \le 15.\)
Câu 316: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy). A. 106,25 triệu đồng. B. 120 triệu đồng. C. 164,92 triệu đồng . D. 114,64 triệu đồng. Spoiler: Xem đáp án Đặt MB=x khi đó AM=4-x và \(MC = \sqrt {M{B^2} + C{B^2}} = \sqrt {{x^2} + 1}\) Khi đó chi phí nối điện từ A đến C là \(f\left( x \right) = 20\left( {4 - x} \right) + 40\sqrt {{x^2} + 1}\) Ta có: \(f'\left( x \right) = - 20 + \frac{{40x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) Lập bảng biến thiên ta thấy: GTNN của f(x) đạt được khi \(x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 114,64\) (triệu đồng).
Câu 317: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)? A. \(m > - 1.\) B. \(m \geq - 1.\) C. \(- 1 \le m \le 1.\) D. \(m \geq 1.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{\sin x - 1}}{{\sin x + m}}\) Ta có \(y' = \frac{{m\cos x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {m + 1} \right).\cos x}}{{{{\left( {\sin x + m} \right)}^2}}};\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) Với m=-1 ta có y=1 là hàm hằng, vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán. Với \(m \ne - 1:\) Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) khi \(y' \ge 0;\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) Và y’=0 có hữu hạn nghiệm trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {m + 1} \right).\cos x \ge 0}\\ {m \ne - \sin x} \end{array}} \right.,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m \ge 1.\)
Câu 318: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m + 2\) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. A. \(m \ne 1.\) B. \(- 2 < m < 2.\) C. \(m >3.\) D. \(- 2 \le m \le 2.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m + 2.\) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x;\forall x \in \mathbb{R}\) Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = m + 2}\\ {x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = m - 2} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow y\left( 0 \right).y\left( 2 \right) = {m^2} - 4.\) Để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục hoành thì: \(y\left( 0 \right).y\left( 2 \right) = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
Câu 319: Tìm số giá trị nguyên của m để hàm số \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {3m - 10} \right){x^2} + 2\) có ba cực trị. A. 3. B. 0. C. 4. D. 5. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số: \(y = \left( {m + 1} \right){x^4} + \left( {3m - 10} \right){x^2} + 2\) Với m=-1, ta có hàm số \(y = - 13{x^2} + 2\) chỉ có một điểm cực trị. Vậy m=-1 không thỏa yêu cầu bài toán. Với \(m \ne - 1,\) ta có: \(\begin{array}{l} y' = 4(m + 1){x^3} + 2(3m - 10)x = 2x\left[ {2(m + 1){x^2} + 3m - 10} \right]\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{{3m - 10}}{{2(m + 1)}}\,(*) \end{array} \right. \end{array}\) Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 hay: \(\frac{{3m - 10}}{{m + 1}} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{10}}{3}\) Vậy m=0; 1; 2; 3 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 320: Tìm S là tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {2 - {x^2}} - x.\) A. \(S = 2 - \sqrt 2\) B. \(S = 2\) C. \(S = 2 +\sqrt 2\) D. \(S =1\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi:\(2 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \Rightarrow D = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) Khi đó:\(y' = \left( {\sqrt {2 - {x^2}} - x} \right)' = - \frac{{x + \sqrt {2 - {x^2}} }}{{\sqrt {2 - {x^2}} }} \Rightarrow y' = 0 \) \(\Rightarrow x + \sqrt {2 - {x^2}} = 0\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 2 - {x^2}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le 0}\\ {{x^2} = 1} \end{array} \Rightarrow x = - 1} \right.} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{\left( { - \sqrt 2 } \right)}} = \sqrt 2 }\\ {{y_{\left( { - 1} \right)}} = 2} \end{array}}\\ {{y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = - \sqrt 2 } \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\max y = {y_{\left( { - 1} \right)}} = 2}\\ {\min y = {y_{\left( {\sqrt 2 } \right)}} = - \sqrt 2 } \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \max y + \min y = 2 - \sqrt 2 . \end{array}\)
