Câu 321: Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}}\) nghịch biến trên khoảng trong các khoảng sau? A. \(\left( {0;1} \right)\) B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) C. \(\left( {1; + \infty } \right)\) D. \(\left( {1;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2 \Rightarrow D = \left[ {0;2} \right]\) Khi đó \(y' = \left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Bảng biến thiên: Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2).
Câu 322: Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} + 1.\) A. (0;1) B. (1;2) C. (-1;6) D. (2;3) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} + 1} \right)' = - 6{x^2} + 6x\) \(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) Mặt khác \(y'' = - 12x + 6 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''{{\left( 0 \right)}} = 6 > 0}\\ {y''{{\left( 1 \right)}} = - 6 < 0} \end{array}} \right. \Rightarrow\) tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1;2).
Câu 323: Một miếng bìa hình tam giác đều ABC, cạnh bằng 16. Học sinh Trang cắt một hình chữ nhật MNPQ từ miếng bìa trên để làm biển trông xe cho lớp trong buổi ngoại khóa (với M,N thuộc cạnh BC; P, Q lần lượt thuộc cạnh AC và AB). Diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn nhất bằng bao nhiêu? A. \(16\sqrt 3 .\) B. \(8\sqrt 3 .\) C. \(32\sqrt 3 .\) D. \(34\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(MN = x,\left( {0 < x < 16} \right) \Rightarrow BM = \frac{{16 - x}}{2}\) \(\Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{QM}}{{BM}} \Rightarrow QM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {16 - x} \right)\) Xét hàm số \(S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\left( {16 - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - {x^2} + 16x} \right)\) với 0<x<16. \(S'(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}( - 2x + 16);\,\,S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 8.\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=8, giá trị lớn nhất là \(32\sqrt3.\)
Câu 324: Cho hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1\) có đồ thị là \((C_m).\) Tìm tất cả các giá trị của m để \((C_m)\) có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một hình thoi. A. \(m = 1 + \sqrt 2\) hoặc \(m = -1 + \sqrt 2\). B. Không có tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. C. \(m = 4 + \sqrt 2\) hoặc \(m = 4 - \sqrt 2\). D. \(m = 2 + \sqrt 2\) hoặc \(m = 2 - \sqrt 2.\). Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - m{x^2} + 2m - 1 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 2mx = 2x\left( {2{x^2} - m} \right)\) Khi \(m > 0:y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 2m - 1\\ x = \pm \frac{{\sqrt {2m} }}{2} \Rightarrow y = - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 \end{array} \right.\) Ta có ba điểm cực trị là \(A\left( {0;2m - 1} \right),B = \left( {\sqrt {\frac{m}{2}} ; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right),C = \left( { - \sqrt {\frac{m}{2}} ; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\) Tam giác ABC cân tại A. OBAC là hình thoi khi \(H = \left( {0; - \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1} \right)\) là trung điểm BC cũng là trung điểm của OA. Suy ra \(- \frac{{{m^2}}}{4} + 2m - 1 = \frac{{2m - 1}}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (nhận).
Câu 325: Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{2}{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm cực đại của (C) và có hệ số góc k. Tìm k để tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của (C) đến d là nhỏ nhất. A. \(k = \pm \frac{1}{{16}}.\) B. \(k = \pm \frac{1}{{4}}.\) C. \(k = \pm \frac{1}{{2}}.\) D. \(k = \pm1.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{2}{x^2} + 1 \Rightarrow y' = {x^3} - x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 1\\ x = \pm 1 \Rightarrow y = \frac{3}{4} \end{array} \right.\) Ta có điểm cực đại là A(0;1) và hai điểm cực tiểu là \(B\left( {1;\frac{3}{4}} \right),C\left( { - 1;\frac{3}{4}} \right).\) Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại có hệ số góc k là \(\Delta :kx - y + 1 = 0.\) Tổng khoảng cách từ hai điểm cực tiểu là \(S = \frac{{\left| {k + \frac{1}{4}} \right| + \left| { - k + \frac{1}{4}} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\) thay từng đáp án vào. Ta có B là phương án đúng.
Câu 326: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập hợp \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\). A. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\) không tồn tại \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right).\) B. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\)\(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=-\sqrt 5.\) C. \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0;\) \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=-1.\) D. \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)=0;\) không tồn tại \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left[ {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}} \right]^\prime } = \frac{{1 - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \notin D\). Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = 0\); \(\mathop {\min }\limits_D f\left( x \right) = - \sqrt 5\).
Câu 327: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = m{x^3} + m{x^2} + m\left( {m - 1} \right)x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) A. \(m \le \frac{4}{3}\). B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{4}{3}} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\). C. m=0 hoặc \(m \ge \frac{4}{3}\). D. \(m \ge \frac{4}{3}\). Spoiler: Xem đáp án TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = 2\) là hàm hằng nên loại m=0. TH2: \(m \ne 0\). Ta có: \(y' = 3m{x^2} + 2mx + m\left( {m - 1} \right)\). Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' = {m^2} - 3{m^2}\left( {m - 1} \right) \le 0}\\ {3m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \ge \frac{4}{3}}\\ {m > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{4}{3}.\)
Câu 328: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn [-4;4]. Khi đó tổng n+M bằng bao nhiêu? A. 48 B. 11 C. -1 D. 55 Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\,\, \in \left[ { - 4;4} \right]\\ x = 3\,\,\,\,\, \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\) \(y\left( { - 1} \right) = 40;\)\(y\left( 3 \right) = 8\); \(y(4)=15; y(-4)=-41.\) Vậy: \(M = 40;m = - 41 \Rightarrow m + M = - 1.\)
Câu 329: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \cdot\) Khi đó tích m.M bằng bao nhiêu? A. \(\frac{1}{3}\) B. 3 C. \(\frac{10}{3}\) D. 1 Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\). \(y' = \frac{{2{x^2} - 2}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}};\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) Bảng biến thiên: Vậy \(M = 3;m = \frac{1}{3} \Rightarrow m.M = 1\).
Câu 330: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 1}}{{x - m}}\) có giá trị lớn nhất trên [1;2] bằng -2. A. m=-3 B. m=2 C. m=4 D. m=3 Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ m \right\}\). Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1;2] thì \(m \notin \left[ {1;\;2} \right]\). \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\) \(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{{1 - m}}\) Theo đề bài: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{1 - m}} = - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3.\)
