Câu 331: Cho hàm số \(y = {x^3} + 5x + 7.\) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-5;0] bằng bao nhiêu? A. 80 B. -143 C. 5 D. 7 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 5 > 0;\forall x \in \left[ { - 5;\;0} \right]\) \(y( - 5) = - 143;y(0) = 7\)\(\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 5;\;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = 7\)
Câu 332: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{{x^4}}}{2} - {x^3} - \frac{1}{5}\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x=-3; đạt cực tiểu tại x=1. B. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3; đạt cực tiểu tại x=1. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=-3 và x=1; đạt cực đại tại x=0. D. Hàm số đạt cực đại tại x=-3 và x=1; đạt cực tiểu tại x=0. Spoiler: Xem đáp án \(y' = {x^4} + 2{x^3} - 3{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\) Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 3 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=-3, đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 333: Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( {2x + 3} \right)\). Tìm số điểm cực trị của f(x). A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 2\\ x = - \frac{3}{2} \end{array} \right.\) Bảng dấu: Vậy hàm số đạt cực trị tại \(x=2;x=-\frac{2}{3}.\)
Câu 334: Cho hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - x + 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\). B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). D. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\). Spoiler: Xem đáp án \(y' = - {x^2} + 2x - 1\Leftrightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 335: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị? A. \(y = 2{x^4} + 4{x^2} + 1\) B. \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) C. \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) D. \(y = - {x^4} - 2{x^2} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị của hàm trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\,,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 điểm cực trị khi \(y' = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt hay \(- \frac{b}{{2a}} > 0\Leftrightarrow ab < 0.\) Vậy C là phương án đúng.
Câu 336: Tìm giá trị của m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\) có ba điểm cực trị. A. m=0. B. m<0. C. m>0. D. Không tồn tại m. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m = a{x^4} + b{x^2} + c \Rightarrow a = 1;b = - 2m;c = m\) Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right..\) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: m>0.
Câu 337: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x + m}}\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\) A. \(m \in \left( { - \frac{1}{2};2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\) B. \(m \in \left( { - 1;2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\) C. \(m \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right).\) D. \(m \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right].\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x + m}},\) ta có: \(y' = \frac{{(2x - 4)(x + m) - {x^2} + 4x}}{{{{(x + m)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx - 4m}}{{{{(x + m)}^2}}},\forall x \ne - m\) Hàm số đồng biến trên \({\rm{[}}1; + \infty )\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)(*)\\ x = - m \notin \forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m > - 1 \end{array} \right.\) Ta có (*) \(\Rightarrow {x^2} + 2mx - 4m \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 2m(2 - x)(I)\) + TH1. Với x = 2 \(\Rightarrow {x^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) với mọi giá trị của m + TH2. Với \(2 - x > 0 \Leftrightarrow x < 2 \Rightarrow x \in {\rm{[}}1;2)\). Khi đó (I)\(\Leftrightarrow 2m \le \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in {\rm{[}}1;2) \Rightarrow 2m \le \mathop {m{\rm{in}}}\limits_{{\rm{[}}1;2)} {\rm{f}}(x)\) + TH3. Với \(2 - x < 0 \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow x \in \left( {2; + \infty } \right)\) Khi đó (I)\(\Leftrightarrow 2m \ge \frac{{{x^2}}}{{2 - x}};\forall x \in (2; + \infty ) \Rightarrow 2m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} {\rm{f}}(x)\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{2 - x}},\) ta có \(f'(x) = - \frac{{x(x - 4)}}{{{{(2 - x)}^2}}};\forall x \ne 2\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 4 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}1;2)} f(x) = f(1) = 1\\ \mathop {\max }\limits_{(2; + \infty )} f(x) = f(4) = - 8 \end{array} \right.\) Kết hợp các trường hợp, ta được \(- 1 < m \le \frac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Câu 338: Cho hàm số \(y = \left| {2{x^2} - 3x - 1} \right|.\) Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) A. \(M = \frac{{17}}{8}.\) B. \(M = \frac{{9}}{4}.\) C. \(M =2.\) D. \(M = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f(x) = 2{x^2} - 3x - 1\) trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có \(f'(x) = 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\) Lại có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = - 2;f\left( {\frac{3}{4}} \right) = \frac{{ - 17}}{8};f(1) = - 2\) \(\Rightarrow f(x) \in \left[ {\frac{{ - 17}}{8}; - 2} \right] \Rightarrow \left| {f(x)} \right| \in \left[ {2;\frac{{17}}{8}} \right]\) Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} y = \frac{{17}}{8}.\)
Câu 339: Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = x + \sin 2x\) trên \((0;\pi )\). A. \({y_{CD}} = \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) B. \({y_{CD}} = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) C. \({y_{CD}} = \frac{{2\pi }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) D. \({y_{CD}} = \frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = (x + \sin 2x)' = 1 + 2\cos 2x \Rightarrow y' = 0\) \(\Leftrightarrow 1 + 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2}\). \(\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in ),x \in (0;\pi ) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3}\\ x = \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\) Mặt khác \(y'' = - 4\sin 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'{'_{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = - 2\sqrt 3 < 0\\ y'{'_{\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 2\sqrt 3 > 0 \end{array} \right.\) Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=\frac{\pi }{3}\) Giá trị cực đại của hàm số bằng \({y{\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = \frac{\pi }{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 340: Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có thể tích là \(64 \pi\) mét khối. Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất. A. \(r = 3\,\,(m).\) B. \(r = \sqrt[3]{16}(m).\) C. \(r = \sqrt[3]{32}(m).\) D. \(r = 4(m).\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao của hình trụ, thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = 64\pi \Rightarrow {r^2}h = 64 \Leftrightarrow h = \frac{{64}}{{{r^2}}}\) Diện tích toàn phần của khối trụ là: \({S_{tp}} = 2\pi r(r + h) = 2\pi r\left( {r + \frac{{64}}{{{r^2}}}} \right) = 2\pi \left( {{r^2} + \frac{{64}}{r}} \right).\) Xét hàm số \(f(r) = {r^2} + \frac{{64}}{r},r > 0.\) Ta có: \(f'(r) = 2r - \frac{{64}}{{{r^2}}},\,f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}.\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(r = \sqrt[3]{{32}}.\) Vậy với \(r = \sqrt[3]{{32}}\) thì hình trụ được sản xuất ra ít tốn nhiên liệu nhất.
