Câu 341: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x=1 và đạt cực tiểu tại x=-1. B. Hàm số nghịch biến trên \((-\infty ;-1)\) C. Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành. D. Hàm số có giá trị cực đại là 6. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x + 4\) với \(x\in \mathbb{R},\) ta có \(y' = 3{x^2} - 3,y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) Mặt khác \(y'' = 6x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y''(1) = 6 > 0\\ y''( - 1) = - 6 < 0 \end{array} \right. \Rightarrow\) hàm số đạt cực đại tại x=-1 và đạt cực tiểu tại x=1 Và giá trị cực đại của hàm số bằng 6 và giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2. Suy ra hai điểm cực trị nằm về cùng phía so với trục hoành. Mặt khác: \(y' < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 1;1) \Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Câu 342: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12cm và chiểu rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Tìm độ dài nhỏ nhất của nếp gấp? A. \(6\sqrt 5 \,\,cm\) B. \(6\sqrt 2 \,\,cm\) C. \(6 \,\,cm\) D. \(6\sqrt 3 \,\,cm\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(EF = x,EC = 8 - x \Rightarrow FC = \sqrt {{x^2} - {{\left( {8 - x} \right)}^2}} = \sqrt {16x - 64}\) Ta có \(\Delta ADF \sim \Delta FCE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{EF}}{{AF}} = \frac{{CF}}{{AD}}\) \(\Delta ADF \sim \Delta FCE\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{EF}}{{AF}} = \frac{{CF}}{{AD}}\) \(AF = \frac{{EF.AD}}{{FC}} = \frac{{8x}}{{\sqrt {16x - 64} }}\) \(y = AE = \sqrt {A{F^2} + E{F^2}} = \sqrt {\frac{{64{x^2}}}{{16x - 64}} + {x^2}} = \sqrt {\frac{{16{x^3}}}{{16x - 64}}}\) \(f\left( x \right) = \frac{{16{x^3}}}{{16x - 64}},\,\,x \in \left( {0;8} \right)\) \(f'\left( x \right) = \frac{{48{x^2}\left( {16x - 64} \right) - 16.16{x^3}}}{{{{\left( {16x - 64} \right)}^2}}}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 768{x^3} - 3072{x^2} - 256{x^3} = 0 \Leftrightarrow 512{x^3} - 3072{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 6\) Bảng biến thiên: \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \Rightarrow {y_{\min }} = \sqrt {{f_{\min }}} = \sqrt {108} = 6\sqrt 3\)
Câu 343: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1\) đồng biến trên khoảng (1;2)? A. \(m \le 1\) B. m<0 C. \(0\leq m \le 1\) D. \(m \le 0\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\) \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m);\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right.\) Với \(m \le 0\) \(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) thì hàm số luôn đồng biến trên \((0; + \infty )\) nên đồng biến trên (1;2). Với m>0\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \sqrt m \\ x = 0\\ x = \sqrt m \end{array} \right.\) Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu y’, hàm số đồng biến trên (1;2) khi \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt m \le 1\\ m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 1.\) Kết hợp 2 TH, ta có: \(m\leq 1\) là giá trị cần tìm.
Câu 344: Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right).\) A. \(- 2 < m \le - 1\) B. \(- 2 \le m < - 1\) C. \(- \frac{3}{2} < m \le - 1\) D. \(m \ge - 2\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}.\) \(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) Với \(m=\pm 2\) thì \(y' = 0,\forall x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến khi \(y' < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\) Khi đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - m} \right)\) và \(\left( { - m; + \infty } \right).\) Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 1} \right)\) thì \(1 \le - m \Leftrightarrow m \le 1.\) Vậy \(- 2 < m \le - 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 345: Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( {1; + \infty } \right)\) B. \(\left( { 0;1 } \right) \) C. \(\left( {-1; 0 } \right)\) D. \(\left( {-1;1 } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^4} - 2{x^2}\) Ta có: \(y' = 4x({x^2} - 1),\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right..\) \(y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ 0 < x < 1 \end{array} \right.\) Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right).\)
Câu 346: Dynamo là một nhà ảo thuật gia đại tài người Anh nhưng người ta thường nói Dynamo làm ma thuật chứ không phải làm ảo thuật. Bất kì màn trình diến nào của anh chảng trẻ tuổi tài cao này đều khiến người xem há hốc miệng kinh ngạc vì nó vượt qua giới hạn của khoa học. Một lần đến New York anh ngấu hứng trình diễn khả năng bay lơ lửng trong không trung của mình bằng cách di truyển từ tòa nhà này đến toà nhà khác và trong quá trình anh di chuyển đấy có một lần anh đáp đất tại một điểm trong khoảng cách của hai tòa nhà. (Biết mọi di chuyển của anh đều là đường thẳng). Biết tòa nhà ban đầu Dynamo đứng có chiều cao là a(m), tòa nhà sau đó Dynamo đến có chiều cao là b(m) (a<b) và khoảng cách giữa hai tòa nhà là c (m). Vị trí đáp đất cách tòa nhà thứ nhất một đoạn là x(m) hỏi x bằng bao nhiêu để quãng đường di chuyển của Dynamo là bé nhất. A. \(x = \frac{{3ac}}{{a + b}}.\) B. \(x = \frac{{ac}}{{3(a + b)}}\) C. \(x = \frac{{ac}}{{a + b}}\) D. \(x = \frac{{ac}}{{2\left( {a + b} \right)}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi các điểm như hình vẽ ta có quãng đường mà Dynamo đi là SA+SB. Trong đó \(SA = \sqrt {{a^2} + {x^2}} ,{\rm{ }}SB = \sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}}\) Do đó quãng đường Dynamo phải di chuyển là: \(S = SA + SB = \sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}}\) Phương pháp hàm số \(S = f\left( x \right) = \sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} (0<x<c)\) Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} - \frac{{\left( {c - x} \right)}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} - \frac{{\left( {c - x} \right)}}{{\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} = \left( {c - x} \right)\sqrt {{x^2} + {a^2}}\) \(\Leftrightarrow {x^2}\left[ {{b^2} + {{\left( {c - x} \right)}^2}} \right] = {\left( {c - x} \right)^2}\left( {{x^2} + {a^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2}{b^2} = {a^2}{\left( {x - c} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow x = \frac{{ac}}{{a + b}}.\) Lập bảng biến thiên của f(x) ta được khi \(x = \frac{{ac}}{{a + b}}\) thì quãng đường bé nhất.
Câu 347: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số \(y = x + m(\sin x + \cos x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).\) B. \(- \frac{1}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\) C. \(- 3 < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = x + m(\sin x + \cos x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi: \(y' = 1 + m(\cos x - \sin x) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow \min \left( {1 + m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) (1) Trước tiên ta sẽ đi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(g(x) = \sin x - \cos x\) Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow 2\sin x.\cos x = {t^2} - 1\) Ta có \({\left( {g(x)} \right)^2} = {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2} = 2 - {t^2} \le 2 \Rightarrow - \sqrt 2 \le g(x) \le \sqrt 2 .\) Do đó \(\left| {m\left( {\cos x - \sin x} \right)} \right| = \left| m \right|.\left| {\cos x - \sin x} \right| \le \left| m \right|\sqrt 2\) \(\Rightarrow - \sqrt 2 \left| m \right| \le m\left( {\cos x - \sin x} \right) \le \sqrt 2 \left| m \right|.\) Do đó (1) \(\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 \left| m \right| \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Câu 348: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - mx - 3\) có hai cực trị. A. m=0 B. m # 0 C. m<0 D. m>0 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} - m\) để hàm số có 2 cực trị thì thì phương trình y’=0 phải có hai nghiệm phân biệt, điều này xảy ra khi m>0.
Câu 349: Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3]. Tính giá trị của tỉ số \(\frac{M}{m}\). A. \(\frac{M}{m}=\frac{4}{3}\) B. \(\frac{M}{m}=\frac{5}{3}\) C. \(\frac{M}{m}=2\) D. \(\frac{M}{m}=\frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [0;3] \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;3} \right)\\ y' = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow x = 1.\) Ta có \(f(0) = 4;f(1) = 3;f(3) = 4.\) Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 3;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}.\)
Câu 350: Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. \(y = {x^3} - 3x + 1.\) B. \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 3}}\) C. \(y = {x^4} - 4{x^3} + 3x + 1\) D. \(y = {x^{2n}} + 2017x{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đáp án A: \(y' = 3{x^2} - 3 = 3({x^2} - 1);{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Tại \(x=1;x=-1\) thì y’ có đổi dấu cho nên hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có cực trị ⇒ Loại A. Đáp án C: \(y' = 4{x^3} - 12{x^2} + 3\) phương trình y'=0 luôn có ít nhất một nghiệm làm đổi dấu y' khi qua nghiệm đó cho nên hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + 3x + 1\) có cực trị ⇒ Loại C. Đáp án D: \(y' = 2n.{x^{2n - 1}} + 2017\) ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = {x_o} = \sqrt[{2n - 1}]{{\frac{{ - 2017}}{{2n}}}}\) và qua thì y' đổi dấu cho nên hàm số \(y = {x^{2n}} + 2017x{\rm{ }}\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) có cực trị ⇒ Loại D. Đáp án B, ta thấy hàm số \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 3}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, không có cực trị.
