Câu 351: Hàm số \(y = \ln (x + 2) + \frac{3}{{x + 2}}\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(( - \infty ;1)\) B. \(( 1;+ \infty)\) C. \(\left ( \frac{1}{2};1 \right )\) D. \(\left (- \frac{1}{2};+\infty \right )\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{1}{{x + 2}} - \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{x - 1}}{{{{(x + 2)}^2}}} >0 \Leftrightarrow x>1 \Rightarrow y\) đồng biến trên khoảng \(( 1;+ \infty)\)
Câu 352: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}}\) trên [-1;1] bằng 2. A. \(\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = - \sqrt 2 \end{array} \right.\) B. m = 0 C. \(m = \pm \sqrt 2\) D. Không tồn tại m Spoiler: Xem đáp án Để hàm số liên tục trên [-1;1] thì \(m \notin \left[ { - 1;1} \right]\) Khi đó: \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}} \Rightarrow y' = - \frac{{{m^4} + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên [-1;1] Mặt khác hàm số liên tục trên đoạn [-1;1] nên: \(\mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} y = y(1) = \frac{{{m^3} + 2}}{{1 - m}} = 2 \Leftrightarrow {m^3} + 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \in \left[ { - 1;1} \right].\) Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 353: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1\) có ba cực trị. A. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 \le m < 0\\ m \ge 1 \end{array} \right.\) B. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < m < 0\\ m > 1 \end{array} \right.\) C. \(\left[ \begin{array}{l} m < 1\\ 0 < m < 1 \end{array} \right.\) D. \(\left[ \begin{array}{l} 0 \le m \le 1\\ m \le - 1 \end{array} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Với \(m = 0 \Rightarrow y = 1 - {x^2} \Rightarrow\) hàm số có một điểm cực trị Với \(m\neq 0\) ta có \(y = - m{x^4} + ({m^2} - 1){x^2} + m + 1 \Rightarrow y' = - 4m{x^3} + 2({m^2} - 1)x;\forall x \in \mathbb{R}\) Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow ({m^2} - 1)x - 2m{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} = {m^2} - 1(*) \end{array} \right.\) Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Điều này xảy ra khi: \(\frac{{{m^2} - 1}}{m} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ - 1 < m < 0 \end{array} \right..\)
Câu 354: Cho hàm số \(y = \cos x + \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}\) có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính \(S=M+m\) A. \(S = 1 + \sqrt 2\) B. \(S = \sqrt 2\) C. \(S = \sqrt 2-1\) D. \(S = \frac{\sqrt 2}{2}-1\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1],\) khi đó \(f(t) = t + \sqrt {1 - {t^2}} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }};f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) Tính các giá trị \(f( - 1) = - 1,f(1) = 1,f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 2 .\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} M = \sqrt 2 \\ m = 0 \end{array} \right. \Rightarrow M + m = \sqrt 2 - 1.\)
Câu 355: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3.\) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) ta có \(y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y'' = 12{x^2} - 4,\forall x \in \mathbb{R}.\) Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right. \Rightarrow y''( \pm 1) > 0 \Rightarrow x = 1,x = - 1\) là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(y( \pm 1) = 2.\)
Câu 356: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5.\) A. \(( - \infty ;1) \cup (3; + \infty )\) B. \(( - 3; + \infty )\) C. \(( - \infty ;1);(3; + \infty )\) D. \(( - \infty ;4)\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 5\) với \(x\in \mathbb{R}\) ta có \(y' = {x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < 1 \end{array} \right.\) Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( 3; + \infty )\) và \(( - \infty ;1).\)
Câu 357: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = - {x^3} - 2{x^2} + 7x - 1\) trên \([-3;2]\) A. M=3 B. M=-1 C. M=4 D. M=-13 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = - {x^3} - 2{x^2} + 7x - 1\) trên đoạn \([-3;2]\) ta có \(y' = 7 - 4x - 3{x^2};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - \frac{7}{3} \end{array} \right.\) Tính các giá trị \(y( - 3) = - 13,y(1) = 3,y\left( { - \frac{7}{3}} \right) = - \frac{{419}}{{27}},y(2) = - 3\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3.
Câu 358: Một sợi dây kim loại dài 60 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên là nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)? A. 26,43 cm B. 33,61 cm C. 40,62 cm D. 30,54 cm Spoiler: Xem đáp án Sợi dây kim loại 60 cm được căt làm hai đoạn có độ dài lần lượt là x và 60-x. Giả sử đoạn có độ dài là x dùng làm hình vuông, khi đó cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\) diện tích hình vuông \({S_1} = \frac{{{x^2}}}{{16}}.\) Đoạn có độ dài 60-x dùng vòng tròn, khi đó bán kính vòng tròn là \(r = \frac{{60 - x}}{{2\pi }},\) diện tích vòng tròn là \({S_2} = \pi {r^2} = \frac{{{{(60 - x)}^2}}}{{4\pi }}.\) Vậy tổng diện tích là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }}\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{{\left( {60 - x} \right)}^2}}}{{4\pi }},\,\,0 < x < 60\) Ta có: \(f'(x) = \frac{{(\pi + 4)x - 240}}{{8\pi }};\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{240}}{{\pi + 4}} \approx 33,61.\)
Câu 359: Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sin x,\) Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(0<t<1\). Khi đó hàm số trở thành: \(y = \frac{{(m - 1)t - 2}}{{t - m}}\) \(y' = \frac{{ - m(m - 1) + 2}}{{{{(t - m)}^2}}} = \frac{{ - {m^2} + m + 2}}{{{{(t - m)}^2}}}\) Với m=-1 và m=2 thì y'=0 hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Với \(m\neq -1\) và \(m\neq 2\) để hàm số đồng biến trên (0;1) thì: \(\left\{ \begin{array}{l} y' > 0,\forall t \in \left( {0;1} \right)\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\\ m \notin \left( {0;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 2 \end{array} \right.\)
Câu 360: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = \cos 2x+4\cos x+1$ A. M=5 B. M=4 C. M=6 D. M=7 Spoiler: Xem đáp án \(y = \cos 2x + 4\cos x + 1 = 2{\cos ^2}x + 4\cos x\) Đặt \(t = \cos x,\,\,1 - \le t \le 1\) Khi đó ta có hàm số: \(f(t) = 2{t^2} + 4t,\, - 1 \le t \le t\) \(\begin{array}{l} f'(t) = 4t + 4\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \end{array}\) Ta có: \(f(1) = 6;\,\,f( - 1) = - 2\) Suy ra hàm số có giá trị lớn nhất là M=6.
