Câu 361: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = \frac{x}{{{x^2}+1}}$ trên đoạn [0;2]. A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\) B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\) C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\) D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Ta có \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( 1 \right) = \frac{1}{2};\,\,y\left( 2 \right) = \frac{2}{5}\) Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{2}.\)
Câu 362: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ biết $f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1 B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và cực đại tại điểm x=1 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng (0;1) D. Hàm số không có điểm cực đại. Spoiler: Xem đáp án Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và không có điểm cực đại.
Câu 363: Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{2}{3}{t^3} + 7{t^2} + 3\) với t (giây) \(\left( {7 \ge t \ge 0} \right)\) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12 m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét. A. 141 (m) B. 39 (m) C. 111 (m) D. \(\frac{28}{3}\) (m) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} s = f\left( t \right) = - \frac{2}{3}{t^3} + 7{t^2} + 3 \Rightarrow v = f'\left( t \right) = - 2{t^2} + 14t\\ \Rightarrow v = 12 \Leftrightarrow - 2{t^2} + 14t = 12 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 6}\\ {t = 1} \end{array}} \right. \end{array}\) Khi vật đạt vận tốc là 12 m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được \(t=6s.\) Lúc đó, quãng đường vật đi được là: \(s = f\left( 6 \right) = 111\) (mét).
Câu 364: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}m{x^2}$ có điểm cực đại $x_1$ điểm cực tiểu $x_2$ sao cho $- 2 < {x_1} < - 1;\,\,1 < {x_2} < 2$ A. \(m>0\) B. \(m<0\) C. \(m=0\) D. Không tồn tại m Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} + mx\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - m \end{array} \right.\) Vì phương trình y'=0 luôn có một nghiệm x=0 nên không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 365: Tìm tất cả những điểm thuộc trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2.\) A. \(M\left( { - 1;0} \right)\) B. \(M\left( {1;0} \right);\,\,O\left( {0;0} \right)\) C. \(M\left( {2;0} \right)\) D. \(M\left( {1;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 6x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;2} \right);B\left( {2; - 2} \right).\) Kiểm tra bốn đáp án ta thấy điểm \(M\left( {1;0} \right)\) cách đều hai điểm A và B.
Câu 366: Tính khoảng cách d điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}.\) A. \(d=2\) B. \(d = 4\sqrt 2\) C. \(d = 2\sqrt 5\) D. \(d = \sqrt 2\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\) Suy ra tọa độ các điểm cực trị của hàm số là (0;0) và (2;4) Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: \(d = \sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2}} = 2\sqrt 5 .\)
Câu 367: Cho hàm số \(y= {x^3} - 3x\) có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là \({y_1},{\rm{ }}{y_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng? A. \({y_1} - {y_2} = - 4.\) B. \(2{y_1} - {y_2} = 6.\) C. \(2{y_1} - {y_2} = -6.\) D. \({y_1} + {y_2} = 4.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right. \end{array}\) Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại là \({y_1} = 2.\) Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu là \({y_2} = - 2.\)
Câu 368: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x - \left( {3m + 2} \right)\cos x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) A. \(- 3 \le m \le - \frac{1}{5}.\) B. \(- 3 < m < - \frac{1}{5}.\) C. \(m<-3.\) D. \(m\geq -\frac{1}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) Ta có: \(y' = (2m - 1) + (3m + 2)\sin x.\) Để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì tức là: \((2m - 1) + (3m + 2)\sin x \le 0{\rm{ }}(1){\rm{ }},\forall x.\) +) \(m=-\frac{2}{3}\) thì (1) trở thành \(- \frac{7}{3} \le 0,\forall x.\) +) \(m > - \frac{2}{3}\) thì (1) trở thành: \(\sin x \le \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \Rightarrow \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{5m + 1}}{{3m + 2}} \le 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < m \le \frac{{ - 1}}{5}.\) + \(m < - \frac{2}{3}\) thì (1) trở thành: \(\sin x \ge \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \Rightarrow \frac{{1 - 2m}}{{3m + 2}} \le - 1 \Leftrightarrow \frac{{m + 3}}{{3m + 2}} \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le m < - \frac{2}{3}.\)Kết hợp ta được: \(- 3 \le m \le - \frac{1}{5}.\)
Câu 369: Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]. Khi đó tổng M+m có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây? A. (0;2) B. (3;5) C. (59;61) D. (39;42) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 6{x^2} + 6x - 12\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ { - 1;3} \right]\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;3} \right] \end{array} \right..\) Mà \(y(1) = - 6;y(3) = 46;y( - 1) = 14\) nên \(M = 46;m = - 6 \Rightarrow M + m = 40 \in \left( {39;42} \right).\)
Câu 370: Tìm giá trị của x để hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) có giá trị lớn nhất? A. \(x= \sqrt 2 .\) B. \(x=3.\) C. \(x= 2.\) D. \(x=1.\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định của hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\) Ta có: \(\begin{array}{l} y' = {\left( {{2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}} \right)^\prime } = \left( {\frac{2}{{x\ln 3}} - \frac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 2\\ = \left( {\frac{{2 - 2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 2 \end{array}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{{x\ln 3}} - \frac{{2{{\log }_3}x}}{{x\ln 3}}} \right){2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}.\ln 3 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.\) Bảng biến thiên: Dựa và bảng biến thiên ta có hàm số \(y = {2^{2{{\log }_3}x - \log _3^2x}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại x=3.
