Câu 371: Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}.\) A. -9 B. -3 C. -1 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Tập xác định \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ { - 1} \right\}.\) Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 3 \end{array} \right.\) Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại điểm x=-3, giá trị cực đại là \({y_{CD}} = - 9.\)
Câu 372: Cho hàm số \(y = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\) Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây? A. \(2x + y + 4 = 0.\) B. \(2x + y - 4 = 0.\) C. \(2x - y - 4 = 0.\) D. \(2x -y + 4 = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right.\) Vậy tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A(0; - 4),\,B( - 2;0).\) Suy ra trung điểm của hai điểm cực trị là: \(M( - 1; - 2)\) thuộc đường thẳng \(2x + y + 4 = 0.\)
Câu 373: Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\) A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) B. \(\left[ {1; + \infty } \right)\) C. \(\left[ { - 1;1} \right]\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m\) Hàm số luôn đồng biến khi và chi khi \(m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};\,\,f'(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{({x^2} + 1)}^3}} }} > 0,\forall x\) Suy ra f(x) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\) Vậy để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(m \le - 1.\)
Câu 374: Cho hàm số \(y = \ln \frac{1}{{{x^2} + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;+\infty )\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;0 )\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)'}}{{\frac{1}{{{x^2} + 1}}}} = - \frac{{2x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.({x^2} + 1) = - \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.\) Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;0 )\) và nghịch biến trên \((0;+\infty )\)
Câu 375: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\) A. \(x=\pm 1\) B. \(x=- 1\) C. \(x= 1\) D. \(x=0\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\) \(\begin{array}{l} y' = - 4{x^3} + 4x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1.
Câu 376: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1] A. \(m\geq 1\) B. \(m \leq 1\) C. \(0\leq m \leq 1\) D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow m = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^3} + {x^2} + x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) liên tục trên đoaạn [0;1]. \(\begin{array}{l} y' = \frac{{ - {x^4} - 2{x^3} + 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}}} = \frac{{ - (x - 1){{(x + 1)}^3}}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\,\, \in \left[ {0;1} \right]\\ x = - 1\,\, \notin \left[ {0;1} \right] \end{array} \right.. \end{array}\) Ta có: \(f(0) = 1;\,\,f(1) = \frac{3}{4}.\) Kết luận: Để phương trình có nghiệm thuộc [0;1] thì \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)
Câu 377: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} + \sqrt {{x^3} - 2x + 2}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) > f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\) B. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) < f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\) C. \(f\left( {\sqrt[4]{5}} \right) = 2f\left( {\sqrt[3]{4}} \right)\) D. \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) = f\left( {\sqrt[4]{5}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Cách 1: Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} + \sqrt {{x^3} - 2x + 2}\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(f'(x) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} + 1} }} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 1} }}\) Xét hàm số \(g(t) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}\) đồng biến với mọi t. Mặc khác \(f'(x) > 0,\forall x > 1\) suy ra hàm số đồng biến với mọi x>1. Mà \(\sqrt[3]{4} > \sqrt[4]{5} > 1\) nên \(f\left( {\sqrt[3]{4}} \right) > f\left( {\sqrt[4]{5}} \right).\) Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi.
Câu 378: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m+5} \right){x^2}+ mx$ có cực đại, cực tiểu sao cho \(\left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right| = 5.\) A. \(m=0\) B. \(m=-6\) C. \(m \in \left \{ 6;0 \right \}\) D. \(m \in \left \{ -6;0 \right \}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\) Ta có: \(y' = {x^2} - \left( {m + 5} \right)x + m\) Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}\left( {m + 5} \right){x^2} + mx\) có cực đại, cực tiểu sao cho \(\left| {{x_{CD}} - {x_{CT}}} \right| = 5\) khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta = {{\left( {m + 5} \right)}^2} - 4m > 0}\\ {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} = 25} \end{array}} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} + 6m + 25 > 0}\\ {{m^2} + 6m + 25 = 25} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0}\\ {m = - 6} \end{array}} \right.\)
Câu 379: Tìm khoảng cách d giữa các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} - \sqrt 3 {x^2} + 1.\) A. \(d = 2\sqrt[4]{3}\) B. \(d = \sqrt 3\) C. \(d = 2\sqrt 3\) D. \(d = \sqrt[4]{3}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = 2{x^4} - \sqrt 3 {x^2} + 1\) \(y' = 8{x^3} - 2\sqrt 3 x = 2x\left( {4{x^2} - \sqrt 3 } \right)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \\ x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \end{array} \right.\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}}\) và \(x = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}}\) Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là \(d = 2.\sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} = \sqrt[4]{3}.\)
Câu 380: Biết đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có 2 điểm cực trị là (-1;18) và (3;-16). Tính \(S = a + b + c + d.\) A. S=0 B. S=1 C. S=2 D. S=3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 2a{x^2} + 2bx + c\) Với \(x=-1\) và \(x=3\) là nghiệm của phương trình y'=0 thì ta có \(3a - 2b + c = 0\) và \(27a + 6b + c = 0.\) Do 2 điểm cực trị cũng thuộc đồ thị nên: \(\begin{array}{l} 18 = - a + b - c + d\\ - 16 = 27a + 9b + 3c + d \end{array}\) Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn trên ta được: \(a = \frac{{17}}{{16}};b = \frac{{ - 51}}{{16}};c = \frac{{ - 153}}{{16}};d = \frac{{203}}{{16}}\) \(\Rightarrow a + b + c + d = 1.\)
