Câu 381: Với giá trị nào của m thì x=1 là điểm cực tiểu của hàm số $ y = \frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}+\left( {{m^2}+m+1} \right)x$ A. \(m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\) B. m= -2 C. m=-1 D. Không có m Spoiler: Xem đáp án \(y' = {x^2} + 2mx + ({m^2} + m + 1)\) Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì: \(y'(1) = 0 \Rightarrow 1 + 2m + ({m^2} + m + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = - 2 \end{array} \right.\) \(y'' = 2x + 2m\) Với m=-1 ta có: y'' (1) = 0 Với m=-2 ta có: y'' (2) = 0 Đến đây nhiều bạn sẽ gặp sai lầm khi kết luận không tồn tại giá trị m thỏa yêu cầu bài toán. (Xem lại Định lí 2 SGK Giải tích 12 trang 16, đó chỉ là định lý một chiều suy ra). Khi gặp trường hợp này ta cần chuyển sang phương pháp kiểm tra bằng cách xét dấu của như sau: + Với m=-1 ta có: \(y' = {x^2} - 2x + 1,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Vậy với m=-1 hàm số không có cực trị. + Với m=-2 ta có: \(y' = {x^2} - 4x + 3,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\) Ta có y’ đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1, vậy hàm số đạt cực đại tại x=1. Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 382: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + \ln \left( {1 - 2x} \right)\) trên [-1; 0]. A. \(m = - 2 + \ln 3\) B. \(m = 0\) C. \(m = -1\) D. \(m = 2 + \ln 3\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 2 - \frac{2}{{1 - 2x}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Ta có: \(y\left( 0 \right) = 0;\,\,y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3\) Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 0] là \(m = y\left( { - 1} \right) = - 2 + \ln 3.\)
Câu 383: Gọi M mà m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\) Tính giá trị của M-m A. M=m=-2 B. M-m=-1 C. M-m=1 D. M-m=2 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}}.\) Tập xác định: D =[0; 1] Do \(0 \le x \le 1\) nên \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{{\sqrt 1 }}{{\sqrt 1 }} = 1.\) Dấu bằng xảy ra khi x=0, khi đó y=1. Mặt khác \(0 \le x \le 1\) với thì \(y = \frac{{\sqrt {1 - x} - 2{x^2}}}{{\sqrt x + 1}} \ge \frac{{\sqrt {1 - x} - {{2.1}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = - 1.\) Dấu bằng xảy ra khi x=1, khi đó y=-1. Vậy M=1, m=-1 suy ra M-m=2.
Câu 384: Cho hàm số \(y = \frac{x}{{x - 1}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}\) C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Nên hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) ta có thể chứng minh bằng cách chỉ ra sự tồn tại của \({x_1} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) và \({x_2} \in \left( {1; + \infty } \right).\) Với \(x_1<x_2\) mà \(f(x_1)<f(x_2)\) thì hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 385: Hàm số nào sau đây có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu? A. \(y = {x^4} + {x^2} + 1\) B. \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) C. \(y = - {x^4} + {x^2} + 1\) D. \(y = - {x^4} - {x^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy hàm số ở phương án A và D có phương trình y'=0 chỉ có một nghiệm, nên loại hai phương án này. Xét các hàm số ở phương án B và C. + Hàm số \(y = - {x^4} + {x^2} + 1\) có hệ số của \(x^4\) âm nên hàm số sẽ có 2 cực đại và một cực tiểu. + Hàm số \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) có hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số sẽ có 2 cực tiểu và một cực đại.
Câu 386: Người ta thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích 72 và có chiều cao bằng 3 dm. Một vách ngăn (cùng bằng kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm) như hình vẽ. Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bể dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể. A. \(a = \sqrt {24} ,b = \sqrt {21}\) B. \(a = 3,b = 8\) C. \(a = 3\sqrt 2 ,b = 4\sqrt 2\) D. \(a = 4,b = 6\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = ab.3 - 72 \Rightarrow ab = 24 \Rightarrow b = \frac{{24}}{a}\) Diện tích toàn bộ bề mặt các tấm kính là: \(S = 3a.3 + 3b.2 + ab = 9a + 6b + 24 = 9a + 6.\frac{{24}}{a} + 24 = 9a + \frac{{144}}{a} + 24.\) Xét hàm số: \(f(a) = 9a + \frac{{144}}{a} + 24,\,a > 0\) \(\begin{array}{l} f'(a) = - \frac{{144}}{{{a^2}}} + 9\\ f'(a) = 0 \Leftrightarrow {a^2} = 16 \Rightarrow a = 4\,(do\,\,a > 0) \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(a) đạt giá trị nhỏ nhất tại a=4, suy ra b=6. Vậy a=4, b=6 là các giá trị cần tìm.
Câu 387: Bạn A có một đoạn dây dài 20 m. Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất. A. \(\frac{{40}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\) B. \(\frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\) C. \(\frac{{120}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\) D. \(\frac{{60}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\,(m)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là độ dài đoạn dây uốn thành tam giá đều suy ra: 20-x là độ dài đoạn dây uốn thành hình vuông. Nên độ dài cạnh tam giác đều là x/3 và độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{20 - x}}{4}m.\) Tổng diện tích của tam giác đều và hình vuông là \(S = {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} + {\left( {\frac{{20 - x}}{4}} \right)^2}.\) Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + \frac{{{{\left( {20 - x} \right)}^2}}}{{16}}\) Xét hàm số f(x) với 0<x<20 ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{x\sqrt 3 }}{{18}} - \frac{{20 - x}}{8};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}.\) Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{180}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\)
Câu 388: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x - 2\sin x.\) A. \(M=0\) B. \(M = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) C. \(M=3\) D. \(M = \frac{{-3\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2cox = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cos = 1\\ \cos = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( {k2\pi } \right) = 0\\ f\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\ f\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow Max{\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)
Câu 389: Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 1} .\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\) B. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;+\infty )\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty )\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty ;0)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \( D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right).\) Khi đó \(y' = {\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right)} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y' > 0,x > 1\\ y' < 0,x < - 1 \end{array} \right.\) Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
Câu 390: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số $y'=f(x)$ là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng (1;2) B. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng (0;2) C. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng (-2;1) D. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng (-1;1) Spoiler: Xem đáp án Với: \(x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến nên A sai. Với: \(x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến nên B đúng. Với: \(x \in \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) > 0,x \in \left( { - 2;0} \right)\\ f'\left( x \right) < 0,x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\) nên C sai. Với: \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) > 0,x \in \left( { - 1;0} \right)\\ f'\left( x \right) < 0,x \in \left( {0;1} \right) \end{array} \right.\) nên D sai.
