Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(2x - 1 = m\left( {x - 1} \right)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;0} \right].\) A. \(m \ge 1\) B. \(m \le \frac{3}{2}\) C. \(1 \le m \le 2\) D. \(1 \le m \le \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Với \(x \in \left[ { - 1;0} \right] \Rightarrow PT \Leftrightarrow m = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = f\left( x \right)\) Ta có \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;0} \right] \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\) Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 1,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = \frac{3}{2}\) PT ban đầu có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;0} \right] \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow 1 \le m \le \frac{3}{2}.\)
Câu 32: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là: A. \(\sqrt 2 \) B. \(\sqrt 2 - 1\) C. \(\sqrt 2 - \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\) D. \(\sqrt 2 - \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = \left[ {\sqrt {{x^2} + 1} - x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]' = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( { - 1} \right) = \sqrt 2 + \ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}\\{f\left( 0 \right) = 1}\\{f\left( 1 \right) = \sqrt 2 - \ln \left( {\sqrt 2 + 1} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt 2 - \ln \left( {1 + \sqrt 2 } \right).\)
Câu 33: Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Phát biểu nào là đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\)và đạt cực đại tại \(x = 3.\) B. Giá trị cực đại của hàm số là -2 C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0. D. Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\) và đạt cực tiểu tại \(x = 0.\) Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2\) và đạt cực tiểu tại \(x = 0.\)
Câu 34: Khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\) đến trục hoành là: A. \(\frac{{23}}{{27}}\) B. \(\frac{1}{9}\) C. \(\frac{1}{3}\) D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + x - 1} \right)' = 3{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\) Mặt khác \(y'' = 6x - 4 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y''\left( 1 \right) = 2 > 0}\\{y''\left( {\frac{1}{3}} \right) = - 2 < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3}; - \frac{{23}}{{27}}} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số Suy ra \(d\left( {M,Ox} \right) = \frac{{23}}{{27}}.\)
Câu 35: Gọi \({x_1},{x_2}\) là điểm cực trị của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - x + 5\). Giá trị biểu thức \(S = \frac{{x_1^2 - 1}}{{{x_1}}} + \frac{{x_2^2 - 1}}{{{x_2}}}\) bằng: A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - x + 5} \right)^\prime } = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}.{x_2} = - 1}\end{array}} \right.\) Suy ra \(S = \frac{{x_1^2 - 1}}{{{x_1}}} + \frac{{x_2^2 - 1}}{{{x_2}}} = {x_1} + {x_2} - \left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right) = {x_1} + {x_2} - \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = 2 - \frac{2}{{ - 1}} = 4.\)
Câu 36: Một người muốn làm một chiếc thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông và có thể tích bằng \(2,16{m^3}.\) Biết giá của vật liệu làm đáy và mặt bên của thùng lần lượt là 90000 đồng/m2và 36000 đồng/m2. Để làm được chiếc thùng với chi phí mua vật liệu thấp nhất thì người thợ phải chọn các kích thước của chiếc thùng là bao nhiêu? A. Cạnh đáy 1,5m và chiều cao 0,96m. B. Cạnh đáy 1,2m và chiều cao 1,5m. C. Cạnh đáy 1,0m và chiều cao 1,7m. D. Cạnh đáy 2m và chiều cao 0,54m. Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là x và chiều cao là y. Ta có: \(V = {x^2}y = 2,16{m^3} \Rightarrow y = \frac{{2,16}}{{{x^2}}};\,\,{S_d} = {x^2};\,{S_{xq}} = 4xy.\) Khi đó chi phí sản xuất \(T = 90{x^2}{\rm{ + 36}}\left( {4xy} \right) = 90{x^2} + \frac{{311,04}}{x}\) (nghìn đồng). Xét hàm số \(T(x) = 90{x^2} + \frac{{311,04}}{x},x > 0\) Ta có: \(T'(x) = 180x - \frac{{311,04}}{{{x^2}}};\,\,T'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}.\) Bảng biến thiên: Vậy chi phí sản xuất nhỏ nhất khi độ dài cạnh đáy hộp là \(x = 1,2m,\) chiều cao \(y = \frac{{2,16}}{{{x^2}}} = 1,5.\)
Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{m^2}x\) có hai điểm cực trị A và B sao cho \(AB = 2\sqrt 5 .\) A. \(m = \pm 2.\) B. \(m = 1.\) C. \(m = 2.\) D. \(m = \pm 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \left( { - {x^3} + 3{m^2}x} \right)' = - 3{x^2} + 3{m^2} = - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right).\) Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi PT \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt suy ra \(m \ne 0.\) Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {m;2{m^3}} \right)\\B\left( { - m; - 2{m^3}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}} = 2\sqrt 5 \Rightarrow {m^2} + 4{m^6} = 5 \Rightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1.\)
Câu 38: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right).\) A. \(m \ge - 10.\) B. \(m \le 1.\) C. \(m \le 10.\) D. \(m \ge - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + m + 1\). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \left( {0;1} \right).\) \( \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} - 6x - 1\,\,\left( {\forall x \in \left( {0;1} \right)} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;1} \right)} \left( { - 3{x^2} - 6x - 1} \right).\) Do đó \(m \ge - 1\) là giá trị cần tìm.
Câu 39: Tìm m để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 trên đoạn [-2; 2] ? A. \(m = - 2\) B. m < 0 C. m > 0 D. m = 2 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\), ta có\(y' = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{m\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) Phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\1 - {x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm 1\) Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) Ta có: \(f\left( 1 \right) = \frac{m}{2};f\left( { - 1} \right) = - \frac{m}{2};f\left( 2 \right) = \frac{{2m}}{5};f\left( { - 2} \right) = - \frac{{2m}}{5}\) Để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(f\left( 1 \right) > \left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 2 \right);f\left( { - 2} \right)} \right\} \Leftrightarrow m > 0.\)
Câu 40: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) trên đoạn \(\left[ {\sqrt 3 ;2} \right].\) A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = \sqrt 2 \) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 0.\) B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 1.\) C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 1\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 0.\) D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = 0.\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = {\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^\prime } = - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( {\sqrt 3 } \right) = 1\\y\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = y\left( {\sqrt 3 } \right) = 1\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 3 ;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 0\end{array} \right..\)
