Câu 391: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = 4{x^3} + m{x^2} - 12x\) đạt cực tiểu tại điểm x=-2 A. m=-9 B. m=2 C. Không tồn tại m D. m=9 Spoiler: Xem đáp án \(y' = 12{x^2} + 2mx - 12\) \(y'( - 2) = 0 \Leftrightarrow 12{( - 2)^2} + 2m( - 2) - 12 = 0 \Leftrightarrow m = 9\) \(y'' = 24x + 2m\) Với m=9 ta có: \(y''( - 2) = - 30 < 0\) Suy ra hàm số không tồn tại giá tại m để hàm số đạt cực tiểu tại x=-2.
Câu 392: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + ax + 1\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 + {x_2} + 2a} \right)\left( {x_2^2 + {x_1} + 2a} \right) = 9.\) A. a=2 B. a=-4 C. a=-3 D. a=-1 Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho có 2 cực trị khi phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + a = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \({\Delta _{y'}} = 1 - 4a > 0 \Leftrightarrow a < \frac{1}{4}.\) Khi đó hàm số có 2 cực trị x1, x2 thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 1\\ {x_1}.{x_2} = a \end{array} \right.\) Do x1, x2 là nghiệm của PT: \({x^2} - x + a = 0\) nên \(x_1^2 = {x_1} - a;x_2^2 = {x_2} - a\) Khi đó : \(\begin{array}{l} \left( {{x_1}^2 + {x_2} + 2a} \right)\left( {{x_2}^2 + {x_1} + 2a} \right) = \left( {{x_1} + {x_2} + a} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + a} \right) = {\left( {a + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 4\\ a = 2{\rm{ }} \end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2\,\,\left( {do\,\,a < \frac{1}{4}} \right). \end{array}\)
Câu 393: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\)? A. \(y = {x^2} + 1\) B. \(y = - 2x + 1\) C. \(y = 2x + 1\) D. \(y = {x^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Bốn hàm số ở các phương án đề có tập xác định là \(\mathbb{R}\) Lần lượt khảo sát tính đơn điệu các hàm số ta thấy hàm số \(y = 2x + 1\) có đạo hàm \(y' = 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Câu 394: Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} - 3m{x^2} - 3x + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành. A. \(-1<m<0\) B. \(-1\leq m\leq 0\) C. \(-1\leq m< 0\) D. \(-1< m\leq 0\) Spoiler: Xem đáp án Với m=0 ta có: \(y=-3x +2\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) Ta có: \(y' = 3m{x^2} - 6mx - 3 = 3(m{x^2} - 2mx - 1)\) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ {m^2} + m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 0\\ - 1 \le m \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m < 0.\) Đồ thị hàm số không có tiếp tiếp song song với trục hoành khi khi \(y' \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Ta thấy với m=-1 thì \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) do đó loại m=-1. Vậy giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(-1< m\leq 0\)
Câu 395: Hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại C. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực trị. Lưu ý: Hàm số \(f(x)\) vẫn có thể có cực trị tại điểm \(x_0\) mà tại đó \(f'(x)\) không xác định.
Câu 396: Xét hàm số \(f(x) = 3x + 1 + \frac{3}{{x + 2}}\) trên tập \(D=(-2;1]\). Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D bằng 1 B. Không tồn tại giá trị lơn nhất của f(x) trên D C. Hàm số f(x) có một điểm cực trị trên D D. Giá trị lớn nhất của f(x) trên D bằng 5 Spoiler: Xem đáp án \(f'(x) = 3 - \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên của hàm số: Vậy hàm số không có gí trị lớn nhất trong khoảng \(D=(-2;1]\)
Câu 397: Cho hàm số \(y = {x^4} - \frac{2}{3}{x^3} - {x^2}.\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu là \(-\frac{2}{3}\) và giá trị cực đại là \(-\frac{5}{48}\) B. Hàm số có giá trị cực tiểu là \(-\frac{2}{3}\) và \(-\frac{5}{48}\) C. Hàm số có giá trị cực tiểu là 0 D. Hàm số chỉ có một giá trị cực tiểu Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 2{x^2} - 2x = 2x(2{x^2} - x - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}\) Bảng biến thiên: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{1}{2}\) và x = 1 các giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CT}=-\frac{2}{3}\) và \(y_{CT}=-\frac{5}{48}\)
Câu 398: Cho hàm số \(y = {x^2}(3 - x).\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty ;0)\) B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty;3)\) D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;2)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = {x^2}(3 - x) = - {x^3} + 3{x^2}\\ y' = - 3{x^2} + 6x = 0\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)
Câu 399: Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125m và cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. A. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\,(km)\) B. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{4}\,(km)\) C. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\,(km)\) D. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{{12}}\,(km)\) Spoiler: Xem đáp án Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\) Gọi \(B\left( {m;0} \right),A\left( {0;n} \right)\,\,\left( {m,n > 0} \right)\) Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng AB là: \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\) Do đường thẳng AB đi qua \(M\left( {\frac{1}{8};1} \right)\) nên \(\frac{1}{{8m}} + \frac{1}{n} = 1 \Rightarrow \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{8m}} = \frac{{8m - 1}}{{8m}} \Rightarrow n = \frac{{8m}}{{8m - 1}}\)Ta có: \(A{B^2} = {m^2} + {n^2} = {m^2} + {\left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right)^2}\) Xét hàm số \(f(m) = {m^2} + {\left( {\frac{{8m}}{{8m - 1}}} \right)^2}\) với m > 0 \(f'(m) = 2m - \frac{{128m}}{{{{(8m - 1)}^3}}} = 2m\left( {1 - \frac{{64}}{{{{(8m - 1)}^3}}}} \right)\)\(f'(m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}\,(do\,m > 0)\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá tị nhỏ nhất tại \(m=\frac{5}{8}\) Vậy độ dài ngắn nhất đoạn đường AB là: \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{8}\,(km).\)
Câu 400: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). A. \(m\leq 3\) B. \(m = 3\) C. \(m > 3\) D. \(m \geq 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m\) Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Bài toán trở thành tìm điều kiện của m để \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) Với \(y' = 3{x^2} + 6x + m\), ta có: \(a = 3 > 0,\Delta = 36 - 12m\) Ta có: \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta \le 0 \Leftrightarrow 36 - 12m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 3.\)
