Câu 401: Hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 4{\rm{x}}+3}$ đồng biến trên khoảng nào? A. \((2;+\infty )\) B. \((-\infty;3 )\) C. \((-\infty;1 )\) D. \((3;+\infty )\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định của hàm số là: \(\left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\) Ta có: \(y' = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} }} \ne 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((3;+\infty )\)
Câu 402: Tìm giá trị cực đại \(y _{CD}\) của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}.\) A. \(y _{CD}=-\frac{1}{2}\) B. \(y _{CD}=\frac{1}{2}\) C. \(y _{CD}=1\) D. \(y _{CD}=-1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; giá trị cực đại của hàm số là \(y _{CD}=\frac{1}{2}\)
Câu 403: Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). A. \(d=4\) B. \(d=2\sqrt{5}\) C. \(d=2\sqrt{2}\) D. \(d=\sqrt{10}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;2} \right);B\left( {2; - 2} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vậy: \(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5.\)
Câu 404: Trong lĩnh vực thủy lợi, mương được gọi là cái dạng “thủy động học” nếu với tiết diện ngang \(T_n\) của mương có diện tích xác định, độ dài đường biên giới \(l\) của \(T_n\) nhỏ nhất. Cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học”. Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích bằng 200 m2. Xác định kích thước của mương dẫn nước để mương có dạng “thủy động học”. A. x = 20, y = 10(m) B. x = 40, y = 5(m) C. x = 25, y = 8(m) D. x = 50, y = 4(m) Spoiler: Xem đáp án Mương dẫn nước đã có tiết diện ngang với diện tích xác định bằng 200 m2 Khi đó để mương có dạng “thủy động học” thì cần nhỏ nhất. Ta có xy = 200 và \(\ell = x + 2y \Rightarrow l = x + 2.\frac{{200}}{x} = x + \frac{{400}}{x}\) Xét hàm số \(f(x) = x + \frac{{400}}{x}\) với x > 0 Ta có: \(f'(x) = 1 - \frac{{400}}{{{x^2}}}\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 20\,(do\,x > 0)\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 20 Với \(x = 20 \Rightarrow y = 10\)
Câu 405: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = {\cos ^2}x+\sin x+3$ trên $\mathbb{R}$ A. M=4 B. M=5 C. \(M=\frac{15}{4}\) D. \(M=\frac{17}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = {\cos ^2}x + \sin x + 3 = - {\sin ^2}x + \sin x + 4\) Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) Ta có hàm số: \(g(t) = - {t^2} + t + 4\) Xét hàm số g(t) trên \([-1;1]\) ta có: \(\begin{array}{l} g'(t) = - 2t + 1\\ g'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \end{array}\) \(\begin{array}{l} g( - 1) = 2\\ g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{17}}{4}\\ g(1) = 4 \end{array}\) Vậy \(M=\frac{17}{4}\)
Câu 406: Cho hàm số \(y = {x^3} - 4{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2.\) Xét các mệnh đề sau: (i) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\) (ii) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) (iii) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} - 8x + 5;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = \frac{5}{3} \end{array} \right.\) Do đó hàm số đồng biến trên \((-\infty ;1)\) và \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\) hàm số nghịch biến trên \(\left ( 1;\frac{5}{3} \right )\) Do đó mệnh đề (i) và (iii) đúng.
Câu 407: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x+35$ trên đoạn $[-4;4]$. A. M = 40; m = -8 B. M = 15; m = -41 C. M = 40; m = -41 D. M = 40; m = -15 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - 9;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 3} \end{array}} \right.\) Ta có \(y\left( { - 4} \right) = - 41;y\left( { - 1} \right) = 40;y\left( 3 \right) = 8;y\left( 4 \right) = 15\) Do đó ta có \(M = 40;m = - 41\)
Câu 408: Biết $M\left( {0;5} \right),N\left( {2; - 11} \right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Tính giá trị của hàm số tại x = 2. A. f(2) = 1 B. f(2) = -3 C. f(2) = -7 D. f(2) = -11 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) Do M, N là các điểm cực trị nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} d = 5\\ 8a + 4b + 2c + d = - 11\\ c = 5\\ 12a + 4b + c = - 11 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{5}{2}\\ b = - \frac{{23}}{2}\\ c = 5\\ d = 5 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow y = \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{23}}{2}{x^2} + 5x + 5 \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 11\)
Câu 409: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = \ln \left( {{x^2}+4} \right) - mx +3$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; \infty } \right)$. A. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\) B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) C. \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) D. \(\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} - m\) Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}},\forall x\) Xét hàm số \(g(x) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\) ta có \(g'(x) = \frac{{8 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}};g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - 2 \end{array} \right.\) Ta có \(y\left( 2 \right) = \frac{1}{2};y\left( { - 2} \right) = - \frac{1}{2}\) Từ bảng biến thiên ta thấy: \(m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}},\forall x\) thì \(\Rightarrow m \le - \frac{1}{2} \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right]\)
Câu 410: Tìm m để hàm số $y = {x^3}+6{x^2} - 3\left( {m - 1} \right)x - m - 6$ có cực đại, cực tiểu tại $x_1, x_2$ sao cho \({x_1} < 0 < {x_2}.\) A. m < -1 B. m > 1 C. m > -1 D. m < 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 12x - 3\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 1 - m = 0\,\left( 1 \right)\) Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại \(x_1, x_2\) sao cho \(x_1 <0<x_2\) thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu: Điểu này xảy ra khi: \(ac = 1 - m < 0 \Leftrightarrow m < 1\)
