Câu 411: Một vật chuyển động theo quy luật $s = - \frac{1}{2}{t^3} + 12{t^2}$, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 512 (m/s) B. 90 (m/s) C. 700 (m/s). D. 96 (m/s) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(v(t) = s'(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 24t \Rightarrow v'(t) = - 3t + 24;v' = 0 \Leftrightarrow t = 8.\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số v(t) đạt giá trị lớn nhất tại t = 8 giá trị lớn nhất v(8) = 96
Câu 412: Tìm giá trị cực tiểu $y_{CT}$ của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5}}{{x + 2}}.\) A. \(y_{CT}=-10\) B. \(y_{CT}=2\) C. \(y_{CT}=\frac{5}{2}\) D. \(y_{CT}=6\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = 2\\ x = - 5 \Rightarrow y = - 10 \end{array} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = 2.\)
Câu 413: Cho hàm số $y = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + 5x - 1$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;4) B. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;5) D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;1) \ va (6;+\infty )\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {x^2} - 6x + 5;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 5 \end{array} \right.\) Do đó đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên \((-\infty ;1)\) và \((5;+\infty)\) nghịch biến trên (1;5) Vậy C là khẳng định sai.
Câu 414: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB=5 (km). Trên bờ biển có 1 cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 (km). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 (km/h). Tìm khoảng cách giữa M và B để người đó đi đến kho nhanh nhất. A. \(2\sqrt 3 \,(km)\) B. \(5\sqrt 2 \,(km)\) C. \(2\sqrt 5 \,(km)\) D. \(5\,(km)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(BM = x \Rightarrow MC = 7 - x;AM = \sqrt {{x^2} + 25}\) Gọi t là thời gian đi từ A đến C của người đó. Ta có: \(t(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{6\sqrt {{x^2} + 25} + 4(7 - x)}}{{25}}\) \(\begin{array}{l} t' = \frac{{6x - 4\sqrt {{x^2} + 25} }}{{24\sqrt {{x^2} + 25} }}\\ t' = 0 \Leftrightarrow 3x = 2\sqrt {{x^2} + 25} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ x = \pm 2\sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số t(x) đạt giác trị nhỏ nhất tại \(x = 2\sqrt 5 .\)
Câu 415: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{{\left( {2{m^2} - 1} \right)\tan x}}{{{{\tan }^2}x + \tan x + 1}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ A. \(- \frac{1}{{\sqrt 2 }} \le m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) B. \(m < - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) hoặc \(m > \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) C. \(- \frac{1}{{\sqrt 2 }} < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) D. \(0 < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(\tan x = t\) Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\) Ta có hàm số: \(f(t) = \frac{{(2{m^2} - 1)t}}{{{t^2} + t + 1}}\) Xét hàm số f(t) trên (0;1): \(f'(t) = \frac{{(2{m^2} - 1)({t^2} + t + 1) - (2{m^2} - 1)t(2t + 1)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {1 - 2{m^2}} \right)({t^2} - 1)}}{{{{({t^2} + t + 1)}^2}}}\) \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - 1 \end{array} \right.\,\) (Không thuộc (0;1)) Vậy để nghịch biến trên (0;1) thì: \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow (1 - 2{m^2})({t^2} - 1) < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{\sqrt 2 }} < m < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Câu 416: Tìm m để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m + 1$ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. A. \(m = \sqrt[3]{3}\) B. \(m=1\) C. \(m=2\) D. \(m=4\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right. \end{array}\) Để hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0. Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là: \(A(0;m + 1);\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m + 1);\,C(\sqrt m ; - {m^2} + m + 1)\) Gọi H là trung điểm của BC suy ra: \(H(0; - {m^2} + m + 1) \Rightarrow A{H^2} = {m^2}\) Vì tam giác ABC cân tại A nên: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = {m^2}\sqrt m = 32 \Rightarrow m = 4.\)
Câu 417: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}+mx - 1$ có hai điểm cực trị thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 6.\) A. m = -1 B. m = 3 C. m = 1 D. m = -3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m\) Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y' = 0 phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3\) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình y' = 0 Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}.{x_1} = \frac{m}{3} \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6\\ \Rightarrow 4 - \frac{{2m}}{3} = 6 \Leftrightarrow m = - 3 < 3\,\,(Thoa\,DK). \end{array}\)
Câu 418: Tím giá trị lớn nhất M của hàm số $y = x - \sqrt {1 - {x^2}}$ A. M = - 1 B. \(M = - \sqrt 2\) C. M = 1 D. \(M = \sqrt 2\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left[ { - 1;1} \right]\) \(y' = 1 + \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} + x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) Ta có \(y\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - \sqrt 2 ;\,\,y( - 1) = - 1\) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là -1.
Câu 419: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$ khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số. B. Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 thì \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0.\) C. Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) < 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) \ne 0\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) + Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số. + Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) < 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 420: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - m{x^2} + 3x + 4$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A. \(- 2 \le m \le 2\) B. \(- 3 \le m \le 3\) C. \(m \ge 3\) D. \(m \le - 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + 3\) Đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên R thì \(y'(x) \ge 0,\forall x \in R\) Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {m^2} - 9 \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3.\)
