Câu 421: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = {e^x}(x - 1) - {x^2}$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(M + m = {e^2} - 6\) B. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4\) C. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 8\) D. \(M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 6\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(\begin{array}{l} y' = {e^x}(x - 1) + {e^x} - 2x = ({e^x} - 2)x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \ln 2 \Rightarrow y(\ln 2) = 2(\ln 2 - 1) - {\ln ^2}2\\ x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \end{array} \right.\\ y(2) = {e^2} - 4 \end{array}\) Vậy \(\begin{array}{l} \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(2) = {e^2} - 4 = M\\ \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} f(x) = f(ln2) = 2(\ln 2 - 1) - {\ln ^2}2 = m\\ \Rightarrow M + m = {e^2} - {\ln ^2}2 + \ln 4 - 6 \end{array}\)
Câu 422: Hàm số $y = 3{x^4} + 2$ đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( {0; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - \frac{2}{3}} \right)\) C. \(\left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 12{x^3}\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\\ y' > 0 \Leftrightarrow x > 0 \end{array}\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 423: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ và có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng -1 B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng -2 C. Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng 3 D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) bằng 2 Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là -2.
Câu 424: Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4$ A. \({y_{CT}} = 1\) B. \({y_{CT}} = 0\) C. \({y_{CT}} = 4\) D. \({y_{CT}} = 2\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y'' = 6x - 6\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y''(0) = - 6 < 0\\ x = 2 \Rightarrow y''(x) = 6 > 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_{CT}} = y(2) = 0 \end{array}\) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực đại
Câu 425: Tìm chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH 0,5m. A. Xấp xỉ 5,4902 B. Xấp xỉ 5,602 C. Xấp xỉ 5,5902 D. Xấp xỉ 6,5902 Spoiler: Xem đáp án Đặt CB = x, CA = y khi đó ta có hệ thức: \(\frac{1}{{2x}} + \frac{4}{y} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{y} = \frac{{2x - 1}}{{2x}} \Leftrightarrow y = \frac{{8x}}{{2x - 1}}\) Ta có: \(AB^2 = {x^2} + {y^2}\) Bài toán quy về tìm min của \(AB^2 = {x^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {\frac{{8x}}{{2x - 1}}} \right)^2}\) Khảo sát hàm số và lập bảng biến thiên ta thấy GTNN đạt tại \(x = \frac{5}{2};y = 5\) Hay AB \(\min = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}.\)
Câu 426: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 1\,\,\left( 1 \right).\) Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị sao cho giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất. A. m=2 B. m=-1 C. m=-2 D. m=0 Spoiler: Xem đáp án \(\\ y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} + 1} \right)x \\ \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt {{m^2} + 1} \end{array} \right.\) ⇒ Hàm số (1) luôn có 3 điểm cực trị với mọi m. \({x_{CT}} = \pm \sqrt {{m^2} + 1}\) ⇒ giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} + 1\) Vì \({\left( {{m^2} + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {y_{CT}} \le 0 \max \left( {{y_{CT}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)
Câu 427: Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có GTNN trên \([-1;1]\) bằng 0? A. m=0 B. m=2 C. m=4 D. m=6 Spoiler: Xem đáp án \(\\ y' = - 3{x^2} - 6x \\ \\ y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;1} \right] \end{array} \right. \\ \\ x = 0 \Rightarrow y = m \\ \\ x = 1 \Rightarrow y = m - 4 \\ \\ x = -1 \Rightarrow y = m - 2\) Từ đó dễ thấy y = m - 4 là GTNN cần tìm. Vậy: \(m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4.\)
Câu 428: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m + 5\) có cực đại và cực tiểu. A. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left[ { - \frac{1}{3};1} \right]\) C. \(m \in \left( { - \frac{1}{3};1} \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Chọn A Ta có: \(\\ y = {x^3} - 3m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x - m + 5 \\ \\ \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx + 2m + 1,\Delta ' = 9{m^2} - 6m - 3\) Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 429: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \sqrt 3 {\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ . A. \(M=2\) B. \(M=\sqrt3\) C. \(M=1\) D. \(M=-\sqrt3\) Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = \cos x + \sqrt 3 \sin x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in } \right)\) Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) Vậy, Hàm số đạt giá trị lớn nhất của hàm số là \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2.\)
Câu 430: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) trên đoạn \([0;3].\) A. M=28 và m=-4 B. M=25 và m=0 C. M=54 và m=1 D. M=36 và m=-5 Spoiler: Xem đáp án \(\\ y' = 3{x^2} + 6x - 9,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\ x = - 3 \notin \left[ {0;3} \right] \end{array} \right. \\ \\ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = - 4,f\left( 3 \right) = 28\\ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 28,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = - 4 \end{array}\)
