Câu 431: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 5}}{{x + 1}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định. A. \(m > - 5\) B. \(m \geq - 5\) C. \(m \geq 5\) D. \(m > 5\) Spoiler: Xem đáp án Với m=5 thì \(y' = 0,\forall x\) hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy để hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì: \(y' = \frac{{m - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \backslash \left\{ { - 1} \right\}\) Điều nảy xảy ra khi: \(m - 5 > 0 \Leftrightarrow m > 5.\)
Câu 432: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {\sin ^4}x - {\sin ^3}x.\) A. M=0 B. M=2 C. M=3 D. M=-1 Spoiler: Xem đáp án Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t;t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^4} - {t^3}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\) Khi đó \(y' = f'\left( t \right) = 4{t^3} - 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \frac{3}{4} \end{array} \right.\) Ta có \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = Max\left\{ {f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right);f\left( 0 \right);f\left( {\frac{3}{4}} \right)} \right\} = f\left( { - 1} \right) = 2\).
Câu 433: Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right).\) Phát biển nào sau đây là đúng? A. Hàm số có một điểm cực đại B. Hàm số có hai điểm cực trị C. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị D. Hàm số không có điểm cực trị Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right..\) Ta thấy \(f'(x)\) không đổi dấu khi qua x=1 do đó x=1 không phải là điểm cực trị của hàm số. \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua x=3. Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị là x=3.
Câu 434: Tìm tất cả các giá tị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x + 1\) nghịch biến trên \((2;3).\) A. \(m \in \left[ {1;2} \right]\) B. \(m \in \left( {1;2} \right)\) C. m<1 D. m>2 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\) Để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x + 1\) nghịch biến trên \((2;3)\) thì \(y'<0\) với mọi \(x \in \left( {2;3} \right).\) Tức là khoảng \((2;3)\) nằm trong khoảng hai nghiệm phương trình \(y'=0\) (Do \(y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\) có hệ số của \(x^2\) dương). \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ {x_1} \le 2 < 3 \le {x_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2m > 0\\ \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\\ \left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \le 0\\ {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 \le 0 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} + 2m - 2.2.\left( {m + 1} \right) + 4 \le 0\\ {m^2} + 2m - 3.2.\left( {m + 1} \right) + 9 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2m \le 0\\ {m^2} - 4m + 3 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le m \le 2\\ 1 \le m \le 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 \le m \le 2 \end{array}\)
Câu 435: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - x + 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). A. \(m \in\mathbb{R} \backslash \left[ { - 1;1} \right]\) B. \(m \in\mathbb{R} \backslash \left( { - 1;1} \right)\) C. \(m \in\left[ { - 1;1} \right]\) D. \(m \in\ \left( { - 1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = - {x^2} + 2mx - 1\) Nhận thấy hàm số đã cho là hàm số bậc ba có hệ số \(a = - \frac{1}{3} < 0\) nên để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) thì phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, hay: \(\Delta ' = {m^2} - 1 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1.\)
Câu 436: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 1\) có đúng 1 điểm cực tiểu. A. \(- 1 < m < 0\) B. \(m < -1\) C. \(m \in \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) D. \(m>-1\) Spoiler: Xem đáp án Với \(m=0\) thì hàm số đã cho trở thành \(y=x^2+1\) là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có duy nhất một điểm cực tiểu. Nên \(m=0\) thỏa mãn. Với \(m\ne0\) thì đây là hàm số bậc bốn trùng phương, ta đi tìm điều kiện để đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu. Ta có: \(\begin{array}{l} y' = 4m{x^3} + 2(m + 1)x = 2x(2m{x^2} + (m + 1))\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m + 1 = 0\,(2) \end{array} \right. \end{array}\) Trường hợp 1: Đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực trị và đó là điểm cực tiểu khi: Hệ số a của hàm số đã cho dương và phương trình \(y'=0\) có duy nhất một nghiệm. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m > 0\\ {\Delta _{(2)}} = - \left( {m + 1} \right)m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0.\) Trường hợp 2: Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. Khi đó Hệ số a âm và \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a = m < 0\\ - \left( {m + 1} \right)m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 > m > - 1.\) Kết hợp các trường hợp ta có \(m>-1.\)
Câu 437: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2017.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 0} \right)\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Câu 438: Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - x - 1.\) A. \(d = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\) B. \(d = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\) C. \(d = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}\) D. \(d = \frac{{2\sqrt {10} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 1 + \sqrt 2 \\ {x_2} = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
Câu 439: Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + x + m.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). A. \(m \geq 4\) hoặc \(m < 1\) B. \(1<m\leq 4\) C. \(1<m<4\) D. \(1\leq m\leq 4\) Spoiler: Xem đáp án Với: \(m=1\) thì \(y = x + 1\) hàm số đồng biến trên R. Với: \(m \ne 1\) \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 1\) \(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 1\\ m \in \left[ {1;4} \right] \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( {1;4} \right] \end{array}\) Vậy \(m \in \left[ {1;4} \right]\)
Câu 440: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = 2x + 3\sqrt {9 - {x^2}} .\) A. m=-6 B. m=-9 C. m=9 D. m=0 Spoiler: Xem đáp án Điều kiện \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\) \(y' = 2 - \frac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = 0 \Rightarrow 4\left( {9 - {x^2}} \right) = 9{{\rm{x}}^2} \Rightarrow x = \pm \sqrt 2\) \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2\sqrt 2 + 3\sqrt 7 ;y\left( { - 3} \right) = - 6;y\left( 3 \right) = 6\) Vậy m=-6.
