Câu 441: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và \(x_0\in K\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Nếu \(f'(x_0)=0\) thì \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) B. Nếu \(f''(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y=f(x)\) C. Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) thì \(f(x_0)\ne0\) D. Nếu \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số \(y=f(x)\) thì \(f'(x_0)=0\) Spoiler: Xem đáp án + Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(x_0\) là điểm cực trị của hàm số Điều ngược lại không đúng vì hàm số \(f(x)\) có thể đạt cực trị tại những điểm thuộc tập xác định của nó mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Suy ra A đúng và D sai. + Với phương án B, Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''(x_0)>0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\) nên B sai. + Với phương án C, ta kiểm tra với hàm số \(y=x^4\) đạt cực trị tại x=0, mà \(y''(0)=0\) nên C sai.
Câu 442: Hàm số \(y = {x^4} + 25{x^2} - 7\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^4} + 25{x^2} - 7\) \(y' = 4{x^3} + 50x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Phương trình \(f'(x)=0\) có duy nhất một nghiệm nên hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 443: Hàm số nào trong các hàm số sau đây trên đồng biến trên tập xác định của nó? A. \(y = x{e^x}\) B. \(y = x+sin2x\) C. \(y = x^4+x^2-2\) D. \(y = x\sqrt {{x^2} + 1}\) Spoiler: Xem đáp án + Tất cả các hàm số trên đều có TXĐ là \(\mathbb{R}\) + Hàm số bậc bốn trùng phương không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\) loại C. + Xét các phương án còn lại: \(y = x{e^x} \Rightarrow y' = {e^x}\left( {x + 1} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) \(y = x + \sin 2x \Rightarrow y' = 1 + 2.\cos 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}\) => Loại A, B Kiểm tra D là phương án đúng.
Câu 444: Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1.\) Tính độ dài AB. A. \(AB = 2\sqrt 2\) B. \(AB = 4\sqrt 2\) C. \(AB = \sqrt 2\) D. \(AB = \frac{\sqrt 2}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\) \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Vậy tọa độ các điểm cực trị là: \(A\left( {1, - 1} \right);B\left( { - 1,3} \right)\) \(\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{(3 - 1)}^2}} = 2\sqrt 2\)
Câu 445: Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3m{x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) + m\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2.\) A. m=3 B. m=2 C. m=-1 D. m=3 hoặc m=-1 Spoiler: Xem đáp án \(y' = - {x^3} + 3m{x^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + m\) \(y' = - 3{x^2} + 6mx - 3\left( {{m^2} - 1} \right)\) \(y = - 6x + 6m\) \(\left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = - 3{m^2} + 12m - 9 = 0 \Rightarrow m = 1;m = 3\\ y\left( 2 \right) = - 12 + 6m \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow m = 3\) Thử lại m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 446: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = {\sin ^3}x - \cos 2x+\sin x +2$ trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).$ A. \(m=5\) B. \(m=\frac{23}{27}\) C. \(m=1\) D. \(m=\frac{1}{27}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\) \(t = {\sin ^3}x - \cos 2x + \sin x + 2 = {\sin ^3}x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + \sin x + 2 = {t^3} + 2{t^2} + t + 1\) Do \(t \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow y' = 3{t^2} + 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3}\) \(\Rightarrow Miny = y\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) = \frac{{23}}{{27}}\)
Câu 447: Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật thể bắt đầu chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất? A. Giấy thứ nhất B. Giấy thứ 3 C. Giấy thứ 10 D. Giấy thứ 7 Spoiler: Xem đáp án Gia tốc a là đạo hàm của v, v đạt cực trị khi a=0. Vậy nên vận tốc của vật sẽ lớn nhất tại thời điểm mà a=0 và gia tốc đổi từ dương sang âm (vận tốc của vật sẽ nhỏ nhất tại thời điểm mà a=0 và gia tốc đổi từ âm sang dương). Nhìn vào đồ thị ta thấy trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 thì chỉ có tại giây thứ 3 gia tốc a = 0 và gia tốc đổi từ dương sang âm. Vậy nên tại giây thứ 3 thì vận tốc của vật là lớn nhất.
Câu 448: Cho hàm số \(y = m{{\rm{x}}^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị. A. 1<m<2 B. 0<m<1 C. -1<m<0 D. m>1 Spoiler: Xem đáp án \(y = m{{\rm{x}}^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) \(y' = 4m{{\rm{x}}^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \sqrt {\frac{{1 - m}}{{2m}}} \\ x = - \sqrt {\frac{{1 - m}}{{2m}}} \end{array} \right.\) Để hàm số có 3 điểm cực tị thì phương trình y’=0 phải có 3 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\frac{{1 - m}}{{2m}} > 0 \Rightarrow m\left( {1 - m} \right) > 0\)\(\Rightarrow 0 < m < 1.\)
Câu 449: Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3.\) Tính diện tích S của tam giác ABC. A. S=2 B. S=1 C. \(S=\sqrt2\) D. \(S=2\sqrt2\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 4{x^3} - 4x\) \(\Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = - 1;x = 1\) \(\Rightarrow A\left( {0;3} \right);B\left( {1,2} \right);C\left( { - 1,2} \right)\) Ta có: \(AB = AC = \sqrt 2 ;BC = 2\) Từ đó nhận thấy tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. \(\Rightarrow AH \bot BC,\,\,H\left( {0;2} \right) \Rightarrow AH = 1\) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.1.2 = 1\)
Câu 450: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 2.\) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) A. \(m\leq -1\) B. \(m\leq 0\) C. \(m\leq -3\) D. \(m\leq -2\) Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 2\) \(y' = 3{x^2} - 6x - m;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(y' \ge 0;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - m \ge 0;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(\Leftrightarrow g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \ge m;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) Ta có: \(g'\left( x \right) = 6x - 6;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Lập bảng biến thiên ta thấy trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) hàm số g(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x=1. \(\Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = - 3 \Rightarrow - 3 \ge m\)
