Câu 451: Biết \(M(0;2),{\rm{ N(2; - 2)}}\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^{\rm{2}}}{\rm{ + c}}x{\rm{ + }}d.\) Tính giá trị của hàm số tại x=-2. A. y(-2)=2 B. y(-2)=22 C. y(-2)=6 D. y(-2)=-18 Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) Do \(M(0;2)\) và \(N(2;-2)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên \(y'(0)=0\) và \(y'(2)=0\) hay \(c=0\) và \(12a+4b=0\). M, N thuộc đồ thị hàm số nên: \(y(0)=2\) và \(y(2)=-2\) hay \(d=2\) và: \(8a + 4b + 2c + d = - 2 \Rightarrow 8a + 4b = - 4\) Từ đó suy ra \(a=1\) và \(b = - 3 \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 18\)
Câu 452: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \ln ({x^2} + 1) - mx{\rm{ + 1}}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty ).\) A. \(( - \infty ; - 1].\) B. \(( - \infty ; - 1).\) C. \([ - 1 ; - 1].\) D. \(( 1;+ \infty ].\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m \Rightarrow y' \ge 0,\forall x\)khi \(m \le \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}},\forall x\) Xét hàm số \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) trên \(( - \infty ; + \infty ).\) \(\begin{array}{l} y' = - \frac{{2({x^2} - 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Do đó: \(\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} \ge - 1,\forall x\) Vậy \(m\leq -1\) là tất cả giá trị cần tìm của bài toán.
Câu 453: Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{3}{t^{\rm{3}}}{\rm{ + 9}}{t^{\rm{2}}},\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? A. 216 (m/s). B. 30 (m/s). C. 400 (m/s). D. 54 (m/s). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(v = s' = \frac{{ - 3}}{2}{t^2} + 18t\) Do cần tìm \(v_{max}\) trong 10 giây đầu tiên nên cần tìm GTLN của \(v\left( t \right) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t\) trên [0;10] Ta có: \(v'\left( t \right) = - 3t + 18\) \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6\) Do v(t) liên tục và \(v\left( 0 \right) = 0,v\left( {10} \right) = 30,v\left( 6 \right) = 54\) Do đó \({v_{\max }} = 54\,(m/s).\)
Câu 454: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x + 1}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Cực tiểu của hàm số bằng -3. B. Cực tiểu của hàm số bằng 1. C. Cực tiểu của hàm số bằng -6. D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\) Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = 1 \end{array} \right.\) Từ bảng biến thiên suy ra x=1 là điểm cực tiểu của hàm số. Giá trị cực tiểu \(y(1)=2.\)
Câu 455: Cho hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right).\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right).\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right).\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 4x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)\) \(y'<0\) khi \(\frac{1}{3} < x < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{3};1} \right).\)
Câu 456: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[-2;2]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào sau đây? A. x=-2 B. x=-1 C. x=1 D. x=2 Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) đạt cực tiểu tại \(x=1.\)
Câu 457: Một thợ xây muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích 150 m2. Đáy bể được làm bằng bê tông, thành bể làm bằng tôn, nắp bể làm bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để làm bể chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m2, tôn 90 nghìn đồng một m2 và nhôm 120 nghìn đồng một m2. A. 15037000 đồng B. 15048000 đồng C. 15038000 đồng D. 15040000 đồng Spoiler: Xem đáp án Gọi r,h (m2) lần lần lượt là bán kính đường tròn đáy v̀ đường cao của hình trụ. Theo đề ta có: \(\pi {r^2}h = 150 \Rightarrow h = \frac{{150}}{{\pi {r^2}}}.\) Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số: \(f(r) = 100\pi {r^2} + 120\pi {r^2} + 90.2\pi r\frac{{150}}{{\pi {r^2}}} = 220\pi {r^2} + \frac{{27000}}{r}\) (nghìn đồng) Ta có: \(\begin{array}{l} f'(r) = 440\pi r - \frac{{27000}}{{{r^2}}}\\ f'(r) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}} = a \end{array}\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất là: \(f(a) = f\left( {\sqrt[3]{{\frac{{675}}{{11\pi }}}}} \right) \approx 15038,38797\) hay 15038000 (đồng)
Câu 458: Tìm S là tập hợp các giá trị thực của tham số m làm cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 4x + m}}{{{x^2} - 2x + 3}}\) đồng biến trên khoảng (2;3). A. \(S = \left( { - \infty ;6} \right)\) B. \(S = \left( { - \infty ;6} \right]\) C. \(S = \left( {2;3} \right)\) D. \(S = \left( {6; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{2{x^2} - 4x + m}}{{{x^2} - 2x + 3}},\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(y' = \frac{{(4x - 4)({x^2} - 2x + 3) - (2{x^2} - 4x + m)(2x - 2)}}{{{{({x^2} - 2x + 3)}^2}}} = \frac{{2(x - 1)(6 - m)}}{{{{({x^2} - 2x + 3)}^2}}}\) Với \(m = 6 \Rightarrow y' = 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy để hàm số đồng biến trên (2;3) thì \(y' > 0,\forall x \in \left( {2,3} \right).\) Với x thuộc khoảng (2;3) thì (x-1)>0 vậy để y'>0 thì (6-m)>0 hay m<6.
Câu 459: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\) có cực trị ? A. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\) B. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) C. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\) D. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án TH1: \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\), hàm số đã cho là hàm bậc 2 luôn có cực trị. TH2: \(m + 1 \ne 0,y' = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1,y' > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Vậy: \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\).
Câu 460: Cho hàm số $y = x - \sin 2x+2$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) B. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\) C. Hàm số có giá trị cực đại\({y_{C{\rm{D}}}} = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) D. Hàm số có giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 1 - 2\cos 2x,f''\left( x \right) = 4\sin 2x\\ f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in\mathbb{Z} \\ f''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - 2\sqrt 3 < 0 \end{array}\) Hàm số đạt cực đại tại \({x_{CD}} = - \frac{\pi }{6} + k\pi,k \in\mathbb{Z}\) Giá trị cực đại \({y_{CD}} = f\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) \(f''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \frac{\pi }{3} = 2\sqrt 3 > 0\) hàm số đạt cực tiểu tại \({x_{C{\rm T}}} = \frac{\pi }{6} + k\pi,k \in\mathbb{Z}\) Giá trị cực tiểu \({y_{C{\rm T}}} = f\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
