Câu 461: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \sqrt {5 - 4x}\) trên đoạn [-1;1]. A. M=9 B. M=3 C. M=1 D. M=0 Spoiler: Xem đáp án TXĐ : \(D = \left[ { - \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên hàm số liên tục và xác định trên [-1;1]. Đạo hàm : \(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right)\) nên nghịch biến trên [-1;1]. Vậy: \(M = y\left( { - 1} \right) = 3.\)
Câu 462: Cho hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} - x - 3\). Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) B. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) C. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = - 4{x^3} - 4x - 1 = - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x\) Do đó hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 463: Tìm hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại \(y_{CD}\) và giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 12x.\) A. \({y_{CT}} + {y_{CD}} = 0\) B. \({y_{CD}} =2{y_{CT}}\) C. \({y_{CD}} +2 {y_{CT}} = 0\) D. \(2 {y_{CD}} = -{y_{CT}}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^3} - 12x,\) ta có: \(y' = 3{x^2} - 12\) \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\) Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 16.\) Hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = -16.\) Do đó \({y_{CT}} + {y_{CD}} = 0\)
Câu 464: Cho hàm số $y = \frac{{ - x+1}}{{3x+1}}$. Hàm số không nghịch biến trong khoảng nào sau đây? A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\) B. \((5;7)\) C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) D. \(( - 1;2)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có:\(y' = \frac{{ - 4}}{{{{(3x + 1)}^2}}} < 0\) do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right).\) Hàm số không liên tục trên \(( - 1;2)\) nên không nghịch biến trên \(( - 1;2).\)
Câu 465: Tìm điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} + 15x - 2.\) A. x=2 B. x=0 C. x=5 D. x=-1 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 12x + 15\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 5 \end{array} \right. \end{array}\) Suy ra: Hàm số đạt cực đại tại x=5.
Câu 466: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\). A. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{3}{5}\) B. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\) C. \(m=3\) D. \(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Với m=1 ta có y=1, nên GTLN của hàm số trên [2;3] bằng 1. Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\) Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3. Ta có: \(\frac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \frac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\) Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán. Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2. Ta có: \(\frac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \frac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\) Vậy\(m = \frac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 467: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{ - \cos x + m}}{{\cos x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\frac{\pi }{2}} \right).\) A. \(m > 0\) hoặc \(m \leq -1\) B. \(m \geq 1\) C. \(m > 0\) D. \(m \leq -1\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \cos x,0 < t < 1\) Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = \frac{{ - t + m}}{{t + m}}\) nghịch biến trên (0;1) Xét hàm số \(y = \frac{{ - t + m}}{{t + m}},t \in \left( {0;1} \right)\) có \(y' = \frac{{ - 2m}}{{{{(t + m)}^2}}}\) Hàm số ngịch biến trên (0;1) khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 2m}}{{{{(t + m)}^2}}} < 0\\ m \notin ( - 1;0) \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Câu 468: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} - 1\) đạt cực tiểu tại x=0. A. \(m \ge 1\) hoặc \(m \leq - 1\) B. \(m =-1\) C. \(m <-1\) D. \(m \leq - 1\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số bậc bốn trùng phương \(y = {x^4} + b{x^2} + c.\) \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} + 2bx = 2x(2{x^2} + b)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2{x^2} + b = 0 \end{array} \right. \end{array}\) Do hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 khi và chỉ khi phương trình y’=0 có duy nhất nghiệm x=0. Điều này xảy ra khi \(b\geq 0\) hay \(- 2(m + 1) \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 1.\)
Câu 469: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + m = 0\) có nghiệm. A. \(0 \le m \le 2\) B. \(\left| m \right| \ge 2\) C. \(-2 \le m \le 0\) D. \(-2 \le m \le 2\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\) Xét hàm số \(f(x) = (1 - {x^2})\sqrt {4 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 2;2} \right]\) \(\begin{array}{l} f'(x) = - 2x\sqrt {4 - {x^2}} - (1 - {x^2}).\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = - \frac{{2x(4 - {x^2}) + x(1 - {x^2})}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{3{x^2} - 9x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ f( - 2) = f(2) = 0\\ f( - \sqrt 3 ) = f(\sqrt 3 ) = - 2\\ f(0) = 0\\ \Rightarrow \min f(x) = - 2;\,\max f(x) = 2 \end{array}\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(- 2 \le m \le 2.\)
Câu 470: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều. A. \(m = 1\) B. \(m = \sqrt[3]{3}\) C. \(m = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}\) D. \(m = \frac{{\sqrt[3]{3}}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m \end{array} \right. \end{array}\) Suy ra đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi m>0. Gọi tọa độ ba điểm cực trị là: \(A(0;2m + {m^4});\,B( - \sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m);\,C(\sqrt m ;{m^4} - {m^2} + 2m)\) Theo tính chất của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương thì tam giác ABC cân tại A. Vậy ABC là tam giác đều khi: \(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {{({m^2})}^2}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(Do\,m > 0) \end{array}\)
