Câu 471: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}+1$ trên đoạn \(\left[ { - 2;\,4} \right]\). Tính tổng M+m. A. M+m=-18 B. M+m=-2 C. M+m=14 D. M+m=-22 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\\ y( - 2) = - 19;\,y(0) = 1;\,y(2) = - 3;\,y(4) = 17\\ \Rightarrow M = 17;\,m = - 19 \Rightarrow M + m = - 2 \end{array}\)
Câu 472: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = x + \sqrt {18 - {x^2}}\). A. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 3\sqrt 2\) B. \(m = 0 ;\,M = 3\sqrt 2\) C. \(m = 0;\,M = 6\) D. \(m = - 3\sqrt 2 ;\,M = 6\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ:\(D = \left[ { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right]\) \(\begin{array}{l} y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {18 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {18 - {x^2}} \\ - 3\sqrt 2 < x < 3\sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} = 18 - {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3. \end{array}\)
Câu 473: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - mx + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\). A. \(m \le 0\) B. \(m \geq -3\) C. \(m < -3\) D. \(m \le -3\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} + 6x - m\) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) khi phương trình \(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right).\) Hay: \(3{x^2} + 6x - m \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 3{x^2} + 6x,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)\) Xét hàm số \(g(x) = 3{x^2} + 6x,x \in \left( { - \infty ;0} \right)\) \(\begin{array}{l} g'(x) = 6x + 6\\ g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \end{array}\) Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) khi \(m\leq 3\).
Câu 474: Hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + x + 1\) nghịch biến trên khoảng nào? A. \(\left ( 3;+\infty\right )\) B. \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\) C. \(\left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 1;\, - \frac{1}{3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} + 6x + 1\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}\\ x = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3} \end{array} \right. \end{array}\) \(y' < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}\) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}} \right)\) nên nghịch biến trên \(\left( { - 1;\, - \frac{1}{3}} \right).\)
Câu 475: Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}}\) đồng biến trên khoảng nào? A. (0;2) B. (1;2) C. (0;1) D. \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\) \(\begin{array}{l} y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - x = 0\\ 0 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\\ y' > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \end{array}\) Vậy hàm số đồng biến trên (0;1).
Câu 476: Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị? A. \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) B. \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 7x + 2\) C. \(y = - {x^4} - 2{x^2} + 1\) D. \(y = {x^4} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Loại B: hàm số bậc ba không thể có ba điểm cực trị. Kiểm tra các phương án còn lại chỉ có ở phương án A, phương trình y'=0 có ba nghiệm phân biệt.
Câu 477: Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ có 2 đáy là hình tròn (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách giữa mép ao và mép mảnh đất là x mét. Biết chiều sâu của ao cũng là x mét. Tìm V là thể tích lớn nhất ao có thể đạt được. A. \(V = 27\pi \left( {{m^3}} \right)\) B. \(V = 13,5\pi \left( {{m^3}} \right)\) C. \(V = 144\pi \left( {{m^3}} \right)\) D. \(V = 72\pi \left( {{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2, suy ra độ dài cạnh là 9 m2. Gọi r là bán kính ao, độ sâu của ao h=x. Khi đó thể tích ao là: \(V = \pi {r^2}x\) Mặt khác ta có: \(r = \frac{{9 - 2x}}{2} = \frac{9}{2} - x \Rightarrow V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\frac{9}{2} - x} \right)^2}.x,\,\,0 < x < \frac{9}{2}\) Ta có: \(\begin{array}{l} f'(x) = 3{x^2} - 18x + \frac{{81}}{4}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\left( {Do\,\,0 < x < \frac{9}{2}} \right) \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{3}{2}\) Vậy thể tích lớn nhất có thể của ao là: \(V = \pi {\left( {\frac{9}{2} - \frac{3}{2}} \right)^2}.\frac{3}{2} = \frac{{27}}{2}\pi = 13,5\pi\)
Câu 478: Cho hàm số \(y = \frac{{(m - 1)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{(m - 1)(\sin x - m) - \left[ {(m - 1)\sin x - 2} \right]}}{{{{(\sin x - m)}^2}}}\cos x = \frac{{m - {m^2} + 2}}{{(\sin x - m)}}\cos x\) Với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(cosx>0\) Do vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)khoảng khi và chỉ khi: \(y' < 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + m + 2 < 0\\ \sin x - m \ne 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 2}\\ {m < - 1} \end{array}} \right.\) Chú ý: Khi \(m = - 1;m = 2 \Rightarrow y' = 0\left( {\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) và hàm số suy biến thành hàm hằng nên C sai.
Câu 479: Cho hàm số \(y = \frac{{(m - 1){x^3}}}{3} + (m - 1){x^2} + 4x - 1\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại \(x_1\), đạt cực đại tại \(x_2\) đồng thời \(x_1<x_2\). A. m>5 B. m=1 hoặc m=5 C. m<1 hoặc m>5 D. m<1 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y' = (m - 1){x^2} + 2(m - 1)x + 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ \Delta ' = {(m - 1)^2} - 4(m - 1) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 5\\ m < 1 \end{array} \right.\) Hàm số có điểm cực tiểu nhỏ hơn điểm cực đại suy ra hệ số của \(x^3\) âm hay: \(m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1\)
Câu 480: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\) có hai điểm cực trị với hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4\)? A. \(m = 1\) hoặc \(m = -\frac{5}{3}\) B. \(m = -\frac{1}{3}\) C. \(m = 1\) hoặc \(m = \frac{5}{3}\) D. \(m = \frac{5}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{2}{3}{x^3} - m{x^2} + 2(1 - 3{m^2})x + 1\), có \(y' = 2{x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2});\forall x \in \mathbb{R}\) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2(1 - 3{m^2}) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 - 3{m^2} = 0(*)\) Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) Hay \({\Delta _{(*)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4(1 - 3{m^2}) > 0 \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 > 0\) (I) Khi đó, theo hệ thức Viet ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = m}\\ {{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}} \end{array}} \right.\) mà \(2({x_1} + {x_2}) - {x_1}{x_2} = 4 \Rightarrow 2m - (1 - 3{m^2}) = 4\) \(\Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1}\\ {m = - \frac{5}{3}} \end{array}} \right.\) Đối chiếu điều kiện (I), ta được \(m = 1;m = - \frac{5}{3}.\)
