Câu 481: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn [-1;2] A. m=-4 B. m=2 C. m=-1 D. m=23 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2{x^2} - 1\\ \Rightarrow y' = 4{x^3} + 2x = 2x(2{x^2} + 1)\\ y' = 0 \Rightarrow x = 0 \end{array}\) \(\begin{array}{l} y(0) = - 1\\ y( - 1) = 2\\ y(2) = 23 \end{array}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2] là -1.
Câu 482: Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nấp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3200 cm3, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích hố của đáy hố ga để khi xây dựng tiết kiệm nguyên liệu nhất? A. 1200 cm2 B. 160 cm2 C. 1600 cm2 D. 120 cm2 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(x,y(x,y > 0)\) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga. Gọi h là chiều cao của hố ga (h>0). Ta có \(\frac{h}{x} = 2 \Rightarrow h = 2x\) Suy ra thể tích của hố ga là: \(V = xyh = 3200 \Rightarrow y = \frac{{3200}}{{xh}} = \frac{{1600}}{{{x^2}}}\) Diện tích toàn phần của hố ga là: \(S = 2xh + 2yh + xy = 4{x^2} + \frac{{6400}}{x} + \frac{{1600}}{x} = 4{x^2} + \frac{{8000}}{x} = f(x)\) Khảo sát hàm số: \(y = f(x),x > 0\) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1200 khi x=10. Suy ra y=16. Vậy diện tích đáy hố ga là: 10.16=160 cm2
Câu 483: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = - {x^3} 3{x^2} +3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1$ có hai điểm cực trị ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2$. A. \(m = \pm 1\) B. \(m = \pm 2\) C. \(m = \pm 3\) D. \(m = \pm 4\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = - 3{x^2} + 6x + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\) + Hàm số (1) có hai điểm cực trị khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt. Điều nảy xảy ra khi: \(\Delta ' = 9{m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0\)(*). + \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\) Trong đó: \({x_1} + {x_2} = 2;{x_1}{x_2} = 1 - {m^2}\) Nên \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow 1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\) (Thỏa (*)).
Câu 484: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}{\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\). A. M=0; m=-4 B. M=8, Hàm số không có giá trị nhỏ nhất C. M=4; m=0 D. \(M = 4,\,m = \frac{3}{{16}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4;f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\) \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\) Với \(x \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right],f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt 2\) Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3.\frac{1}{{16}},f\left( 0 \right) = 4,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0,f\left( 2 \right) = 4\) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\) lần lượt là 4 và 0.
Câu 485: Hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\ln x}}\) đồng biến trong khoảng nào sau đây? A. \((0;1)\) B. \((1;e)\) C. \((0;e)\) D. \((e; + \infty )\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) Đạo hàm: \(y' = \frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e\) Vậy hàm số đồng biến trên \((e; + \infty ).\)
Câu 486: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4]. A. m=6 B. m=-2 C. m=-3 D. \(m = \frac{{19}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1 \notin \left[ {2;4} \right]}\\ {x = 3 \in \left[ {2;4} \right]} \end{array}} \right.\). Do hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2;4] và có \(y\left( 2 \right) = 7;y\left( 3 \right) = 6;y\left( 4 \right) = \frac{{19}}{3}\). Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\).
Câu 487: Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) có giá trị cực đại \(y_{CD}\) và giá trị cực tiểu là \(y_{CT}.\) Tính \(S = {y_{CD}} + {y_{CT}}.\) A. S=0 B. S=-4 C. S=2 D. S=-2 Spoiler: Xem đáp án TXĐ:\(D=\mathbb{R}\) \(y = {x^3} - 3{x^2}\) \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\) Do hệ số của \(x^3\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{C{\rm T}}} = - 4,\) cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = 0.\) Vậy: \(S = {y_{CD}} + {y_{CT}} = - 4.\)
Câu 488: Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0, giá trị lớn nhất bằng 2. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 5. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; cực đại tại x=5. D. Hàm số có đúng một cực trị. Spoiler: Xem đáp án Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy được giá trị cực đại của hàm số là bằng 2 và giá trị cực tiểu của hàm số là bằng 0. Hàm số đạt cực đại tại x=5 và đạt cực tiểu tại x=2 và x=8, hàm số đã cho có 2 cực tiểu và 1 cực đại.
Câu 489: Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}(x + 2).\) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(( - 2; + \infty ).\) B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) D. Hàm số nghịch biến trên \(( - 2; 0).\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} f'(x) = {x^2}(x + 2)\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\) Tại x=0 là nghiệm kép nên đạo hàm không đổi dấu, taị x=-2 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)
Câu 490: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị thuộc đường thẳng \(y = ax + b.\). Tính tích ab. A. ab=-8 B. ab=-6 C. ab=4 D. ab=9 Spoiler: Xem đáp án Lưu ý: Hàm số \(f(x) = \frac{{g(x)}}{{h(x)}}\) Với g(x) là hàm số bậc 2, h(x) là hàm số bậc nhất. Các điểm cực trị của hàm số nàm trên đường thẳng \(y = \frac{{g'(x)}}{{h'(x)}}\) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị hàm số có phương trình là: \(y = \frac{{2x - 4}}{1}\) Do đó: a.b=-8.
