Câu 41: Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = x + \frac{1}{x}.\) A. \(\left( {1;2} \right).\) B. \(\left( {1; - 1} \right).\) C. \(\left( { - 1; - 2} \right).\) D. \(\left( {1;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\) Mặt khác \(y'' = \frac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( { - 1} \right) = - 2 < 0\\y''\left( 1 \right) = 2 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( { - 1; - 2} \right).\)
Câu 42: Tìm các khoảng đồng biến của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}.\) A. \(\left( {0;1} \right).\) B. \(\left( {0;2} \right).\) C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right).\) D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right) \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right..\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Câu 43: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có nắp dạng hình hộp chữ nhật, hai đáy là hình vuông sao cho thể tích của khối hộp được tạo thành là \(12c{m^3}\). Nhà thiết kế muốn chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất. Độ dài cạnh đáy a của hộp cần thiết kế là bao nhiêu? A. \(a = \sqrt[3]{{12}}\,\,cm\) B. \(a = 2\sqrt[3]{4}\,\,cm\) C. \(a = \sqrt[3]{9}\,\,cm\) D. \(a = 2\sqrt[3]{3}\,\,cm\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao của khối hộp hình chữ nhật Thể tích của khối hộp đó là \(V = h{a^2} = 12 \Leftrightarrow h = \frac{{12}}{{{a^2}}}\) Diện tích toàn phần của khối hộp là \({S_{tp}} = 4ah + 2{a^2} = 2{a^2} + \frac{{48}}{a} = 2\left( {{a^2} + \frac{{24}}{a}} \right)\) Xét hàm số \(f(a) = {a^2} + \frac{{24}}{a},a > 0\) Ta có: \(f'(a) = 2a - \frac{{24}}{{{a^2}}};\,\,f'(a) = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{12}}.\) Bảng biến thiên: Vậy độ dài cạnh đáy là \(a = \sqrt[3]{{12}}\,\,cm\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 44: Cho biết hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = - 3\) và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại \(x = - 2\). A. \(f\left( { - 2} \right) = 16\) B. \(f\left( { - 2} \right) = 24\) C. \(f\left( { - 2} \right) = 2\) D. \(f\left( { - 2} \right) = 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\) Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( 1 \right) = 0\\ f\left( 1 \right) = - 3\\ f\left( 0 \right) = 2\\ f\left( 1 \right) = 6 + 2a > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 + 2a + b = 0\\ 1 + a + b + c = - 3\\ c = 2\\ a > - 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = - 9\\ c = 2 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2\) \( \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 24.\)
Câu 45: Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin 2x + \sqrt {2 - {{\sin }^2}2x} \). Tính \(M - m\). A. \(M - m = 2\) B. \(M - m = 5\) C. \(M - m = 1\) D. \(M - m = 4\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \sqrt {2 - {t^2}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \frac{t}{{\sqrt {2 - {t^2}} }} = 0 \Rightarrow t = 1\) Khi đó \(f\left( { - 1} \right) = 0 = m;f\left( 1 \right) = 2 = M \Rightarrow M - m = 2.\)
Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\). A. \(m \le - 2\) B. \(m > - 1\) C. \(\left[ \begin{array}{l} - 2 \le m < - 1\\m \ge 0\end{array} \right.\) D. \( - 2 < m \le - 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( {\frac{{mx + 4}}{{x + m}}} \right)^\prime } = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) Với \(m = \pm 2 \Rightarrow y' = 0.\) Khi đó hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) khi \(y' < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \Rightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\) Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\\x + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\\m \ne - x\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \Rightarrow - 2 < m \le - 1.\)
Câu 47: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\) A. \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} \,\,y = 5\) B. \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} \,\,y = 3\) C. \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} \,\,y = \frac{1}{3}\) D. \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} \,\,y = 1\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) Ta có: \(y = \frac{{2({x^2} - 1)}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là 3 tại x=-1.
Câu 48: Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu? A. \(y = - {x^4} - {x^2} + 3\) B. \(y = {x^4} - {x^2} + 3\) C. \(y = - {x^4} + {x^2} + 3\) D. \(y = {x^4} + {x^2} + 3\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu suy ra a âm.
Câu 49: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 12x - 1\). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; + \infty } \right)\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} - x - 12 = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < - 3\end{array} \right.\\y' < 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 4\end{array} \right.\) Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right)\).
Câu 50: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4; + \infty } \right)\) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).
