Câu 491: Tìm giá trị cực đại \({y_{CD}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2.\) A. \({y_{CD}} = 2\) B. \({y_{CD}} = 4\) C. \({y_{CD}} = 1\) D. \({y_{CD}} = 0\) Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^3} - 3x + 2\) \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{array}\) Hàm số bậc ba có hệ số của \(x^3\) dương nên điểm cực trị có hoành độ nhỏ hơn sẽ điểm cực đại. Suy ra hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 4\)
Câu 492: Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) trên [1;3]. A. m=1; M=3 B. \(m = 0;\,M = \frac{2}{7}\) C. \(m = 0;\,M = 1\) D. \(m = - \frac{2}{7};\,M = 0\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\) có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{2}; + \infty } \right)\). Vì hàm số đã cho liên tục và xác định trên [1;3] nên ta có GTNN của hàm số đó là y(1)=0 và GTLN của hàm số đó là \(y\left( 3 \right) = \frac{2}{7}\)
Câu 493: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3({m^2} - 1)x\) đạt cực tiểu tại x=2. A. \(m = - 1\) B. \(m = \pm 1\) C. \(m \ne \pm 1\) D. \(m = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 6x + 3({m^2} - 1)\) \(y'' = 6x - 6\) Để hàm số đạt cực đại tại x=2 thì: \(\left\{ \begin{array}{l} y'(2) = 0\\ y''(2) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 1 = 0\\ 6 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 1 \end{array} \right.\) Thử lại: Với m=1 hoặc m=-1 hàm số đều đại cực đại tại x=2.
Câu 494: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^3} - {x^2} + 3x + m - 2\) đồng biến trên \(( - 3;0).\) A. m=0 B. \(m \ge \frac{1}{9}\) C. \(m \ge- \frac{1}{3}\) D. \(m \ge0\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho có \(y' = 3m{x^2} - 2x + 3\) Trường hợp m=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta xét trường hợp \(m\ne0\) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi \(y'\geq 0\) với \(\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) \(\Leftrightarrow 3m{x^2} - 2x + 3 \ge 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) Xét hàm số\(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}},\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x}}{{9{x^4}}} < 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right)\) Từ bảng biến thiên suy ra với \(m \ge - \frac{1}{3}\) thì hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)
Câu 495: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m{x^3}+m{x^2}+(m - 1)x - 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. A. \(m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right]\) B. \(m \in \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left[ {0;\frac{3}{2}} \right]\) D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) Hàm số đã cho có \(y' = 3m{x^2} + 2mx + m - 1\) Xét trường hợp 1: \(m = 0 \Rightarrow y' = - 1\) (không thỏa mãn) Xét trường hợp 2: \(m\ne0\) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\geq 0\) với \(x\in\mathbb{R}\). Điều này xảy ra khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3m > 0}\\ {\Delta ' = {m^2} - 3m\left( {m - 1} \right) \le 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \le 0}\\ {m \ge \frac{3}{2}} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow m \ge \frac{3}{2}} \right.} \right.\)
Câu 496: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và khoảng \(\left( {0;1} \right)\) B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và khoảng \(\left( {0;1} \right)\) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left ( -1;0 \right )\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) \(y' = 4{x^3} - 4x\) \(y' < 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x < 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {0 < x < 1} \end{array}} \right.\) \(y' > 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\ x > 1 \end{array} \right.\) Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\); \(\left( {0;1} \right)\) và đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right);\) \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Câu 497: Ông A định làm thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây: Tính khi đó chiều dài a, chiều rộng b của mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất. A. a=35; b=25 B. a=40; b=20 C. a=50; b=10 D. a=30; b=30 Spoiler: Xem đáp án Gọi x là độ dài một cạnh, khi đó độ dài cạnh còn lại 60-x Giả sử quấn cạnh có độ dài là x lại thì bán kính đáy \(r = \frac{x}{{2\pi }};\,h = 60 - x\) Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \frac{{ - {x^3} + 60{x^2}}}{{4\pi }}\) Xét hàm số: \(f(x) = - {x^3} + 60{x^2},x \in \left( {0;60} \right)\) \(\begin{array}{l} f'(x) = - 3{x^2} + 120\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 40 \end{array} \right. \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất khi x=40; 60-x=20. Vậy chiều dài là a=40, chiều rộng b=20.
Câu 498: Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K và có đạo hàm là f’(x) trên K. Biết hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số f’(x) trên K. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị trên K? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị của đạo hàm cho thấy đạo hàm có duy nhất một lần đổi dấu từ (-) sang (+) tại điểm có hoành độ x=-1 nên hàm số đạt cực đại tại x=-1, là điểm cực trị duy nhất.
Câu 499: Cho hàm số \(y = - {x^3} - 6{x^2} + 10\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;-4} \right)\) C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = - {x^3} - 6{x^2} + 10\) có \(y' = - 3{x^2} - 12x\) Ta có: \(\begin{array}{l} y' > 0 \Leftrightarrow - 4 < x < 0\\ y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 4\\ x > 0 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-4;0), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \($\left( {0; + \infty } \right)\)
Câu 500: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn. A. \(80\,(c{m^2})\) B. \(100\,(c{m^2})\) C. \(160\,(c{m^2})\) D. \(200\,(c{m^2})\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm trên đường kính đường tròn 0<x<10. Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm trên đường tròn là: \(2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\) Diện tích hình chữ nhật: \(S = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}}\) Đặt \(f(x) = 2x\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} ,0 < x < 10\) Ta có: \(\begin{array}{l} f'(x) = 2\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{{10}^2} - {x^2}} }} = {2.10^2} - 4{x^2}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\,(Do\,\,0 < x < 10) \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{10\sqrt 2 }}{2}\). Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: \(S = 10\sqrt 2 .\sqrt {{{10}^2} - \frac{{{{10}^2}}}{2}} = 100\,(c{m^2})\)
