Câu 501: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5\)có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O(0;0) là trọng tâm. A. m=0 B. m=2 C. m=1 D. m=-1 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = {x^4} + 2(m - 4){x^2} + m + 5\\ y' = 4{x^3} + 4(m - 4)x = 4x({x^2} + m - 4)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 4 - m(*) \end{array} \right. \end{array}\) Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi: \(4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4.\) Khi đó: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \({x_1} = \sqrt {4 - m} ,{x_2} = - \sqrt {4 - m}\) Giả sử các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho lần lượt là: \(A\left( {\sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right),{\rm{ }}\)\(B\left( {0;m + 5} \right)\), \(C\left( { - \sqrt {4 - m} ; - {m^2} + 9m - 11} \right)\) Theo bài ra ta có trọng tâm của tam giác ABC là O(0;0) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 = \frac{{m + 5 + 2\left( { - {m^2} + 9m - 11} \right)}}{3}}\\ {0 = \frac{{0 + \sqrt {4 - m} - \sqrt {4 - m} }}{3}} \end{array}} \right. \Rightarrow m = 1\)
Câu 502: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ nặng \(P(n) = 480 - 20n\) (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 Spoiler: Xem đáp án Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ (n>0). Khi đó: Cân nặng của một con cá là: \(P(n) = 480 - 20n\) Cân nặng của n con cá là:\(nP(n) = 480n - 20{n^2},n > 0\) Xét hàm số:\(f(n) = 480n - 20{n^2},n > 0\) Ta có: \(\begin{array}{l} f'(n) = 480 - 40n\\ f'(n) = 0 \Leftrightarrow n = 12 \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con.
Câu 503: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = - 2{x^4}+\left( {m+3} \right){x^2}+5$ có duy nhất một điểm cực trị. A. \(m = 0\) B. \(m \le - 3\) C. \(m <3\) D. \(m >-3\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = - 2{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 5\\ y' = - 8{x^3} + 2(m + 3)x = 2x( - 4{x^2} + m + 3)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ - 4{x^2} + m + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ m + 3 = 4{x^2} (*)\end{array} \right. \end{array}\) Hàm số có đúng một cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0. Điều này xảy ra khi: \(m + 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 3.\)
Câu 504: Cho hàm số f(x) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2}\). Hỏi hàm số \(f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4}\left( {x - 1} \right){\left( {2 - x} \right)^3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\) Vậy hàm số đạt cực trị tại x=1 và x=2.
Câu 505: Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x+2$ trên $[-2;2]$. A. M=7 và m=2. B. M=7 và m=-1. C. M=7 và m=0. D. M=7 và m=-20. Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\) \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x - 9\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right. \end{array}\) Ta có: \(y\left( { - 2} \right) = 0;y\left( 2 \right) = - 20;y\left( { - 1} \right) = 7\) Vậy M=7, m=-20.
Câu 506: Tìm các giá trị thực của tham số m đề hàm số \(y = \frac{{m - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{{\cos }^2}x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\). A. \(m \ge \frac{5}{2}\) B. \(m \le \frac{5}{2}\) C. \(m \le \frac{5}{4}\) D. \(m \ge \frac{5}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sin x,\,\,0 < x < \frac{\pi }{6} \Rightarrow 0 < t < \frac{1}{2}\) Khi đó hàm số đã cho trở thành \(y = \frac{{m - t}}{{1 - {t^2}}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1 + 2mt - {t^2}}}{{{{(1 - {t^2})}^2}}} \le 0\) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) khi: \(\begin{array}{l} - 1 + 2mt - {t^2} \le 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} \ge 2m,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \end{array}\) Xét hàm số: \(\begin{array}{l} f(t) = t + \frac{1}{t} \Rightarrow f'(t) = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\ \Rightarrow \min \,f(t) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{2} \end{array}\) Vậy \(m \le \frac{5}{4}\).
Câu 507: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí A đến vị trí C trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đát liền là BC=1km, khoảng cách từ A đến B là 4km. Người ta chọn một ví trí là điểm S nằm giữa A và B để mắc đường dây điện đi từ A đến S, rồi từ S đến C như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi km dây điện đặt ngầm dưới đáy biển mất 5000 USD. Hỏi điểm S phải cách điểm A bao nhiêu km để chi phí mắc đường dây điện là ít nhất? A. 3,25 km B. 1 km C. 2 km D. 1,5 km Spoiler: Xem đáp án Giả sử \(AS = x\,(0 < x < 4) \Rightarrow BS = 4 - x\). Khi đó tổng chi phí mắc đường dây điện là: \(T = 3000x + 5000\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}}\) Xét hàm số \(f(x) = 3000x + 5000\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} ,x \in \left( {0;4} \right)\) \(\begin{array}{l} f'(x) = 3000 + 5000.\frac{{ - (4 - x)}}{{\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + {{(4 - x)}^2}} = 5(4 - x) \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{4}\,(Do\,x \in \left( {0;4} \right)). \end{array}\)
Câu 508: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;16} \right)\). A. \(m \in \left[ {4; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( {3;4} \right] \cup \left[ {16; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( {3; + \infty } \right)\) D. \(m = \frac{{33}}{{16}}\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\sqrt x = t \Leftrightarrow 2 < t < 4\). Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\) nghịch biến trên (2;4). \(g\left( t \right) = \frac{{t - 3}}{{t - m}}\), TXĐ: \(D = \backslash \left\{ m \right\}\) \(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}}\) Với m=3 thì \(f'(t) = 0,\forall t \ne 3\). Với \(m \ne 3\) thì \(f'(t) \ne 0,\forall t \ne 3\). Vậy hàm số f(x) nghịch biến trên (4;16) khi và chỉ khi g(t) nghịch biến trên (2;4). Điiều này xảy ra khi: \(g'(t) = \frac{{3 - m}}{{{{(t - m)}^2}}} < 0,\forall t \in (2;4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \notin (2;4)\\ 3 - m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 4\).
Câu 509: Tìm là giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = x+\sqrt 2 \cos x$ trên đoạn $\left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]$. A. \(M = \frac{\pi }{2},m = \sqrt 2\) B. \(M = \frac{\pi }{4} + 1,m = \sqrt 2\) C. \(M = 1,m = 0\) D. \(M = 9,m = 4\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 1 - \sqrt 2 \sin x.{\rm{ }}\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}\,\left( {Do\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} \right)\\ y(0) = \sqrt 2 ;y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} + 1;y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow M = \frac{\pi }{4} + 1;m = \sqrt 2 \end{array}\)
Câu 510: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 2017\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). A. m=-2 B. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán C. \(m \ge - 2\) D. \(m \in\mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho đồng biến trên khi và chỉ khi: \(y' = {x^2} - 2(m + 1)x - (2m + 3) \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \mathbb{R}\) Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = {(m + 1)^2} + (2m + 3) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 \le 0 \Leftrightarrow m = - 2\)
