Câu 511: Giả sử tồn tại hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau : Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu. B. Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu. C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu. D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x_0\) và đặt cực đại tại \(x_1\).
Câu 512: Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị. A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1\) \(y' = {\rm{ }} - 3{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} - 3\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Vậy hàm số không có cực trị. Lưu ý: Hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 513: Hàm số nào sau đây là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)? A. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) B. \(y = - 2{x^3} + {x^2} - x + 2\) C. \(y = - {x^4} + 2{x^2} - 2\) D. \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Các hàm số bậc bốn và hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) Loại C, D Hàm số bậc 3 ở ý A có hệ số x3 dương nên không thể nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) Loại A Hàm số ở ý B có y’ = -6x2 + 2x - 1 < 0, \(\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 514: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\). A. \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right)\) D. \(m \in \left( { - 3;1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \cos x\) với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\) thì \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) . Hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( t \right) = \frac{{2t + 3}}{{2t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\). Xét \(y' = \frac{{2.\left( { - m} \right) - 3.2}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}}\). Vậy để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì \(y'>0\) với mọi \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\). Hay \(\frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\) \(\Leftrightarrow - 2m - 6 > 0 \Leftrightarrow m < - 3\)
Câu 515: Ông A có cái ao có diện tích 50 m2 để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ \(20{\rm{ con/}}{m^2}\) và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, Ông A thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới ông A phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi). A. 488 con B. 512 con C. 460 con D. 540 con Spoiler: Xem đáp án Số cá ông A đã thả trong vụ vừa qua là 20.50=1000 con. Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con. Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con. Suy ra: \(a = \frac{{0,5.x}}{8} = \frac{1}{{16}}\) kg/con. Vậy sản lượng thu được trong năm tới của ông A sẽ là : \(f\left( x \right) = \left( {1000 - x} \right)\left( {1,5 + \frac{1}{{16}}x} \right)\) kg \(f\left( x \right) = - \frac{1}{{16}}{x^2} - \frac{3}{2}x + 1500 + \frac{{125}}{2}x\) \(= - \frac{1}{{16}}{x^2} + 61x + 1500\) Tìm GTLN của hàm số \(f(x) = - \frac{1}{{16}}{x^2} + 61x + 1500\) \(\begin{array}{l} f'(x) = - \frac{1}{8}x + 61\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 488 \end{array}\) Ta thấy hàm số \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất tại x=488. Vậy số cá thả giảm đi là 488 con. Vậy số cá cần phải thả là: 1000-488=512 con.
Câu 516: Tìm số thực m lớn nhất để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + m + 2\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). A. \(m = \frac{1}{2}\) B. \(m = -\frac{1}{2}\) C. \(m = \frac{3}{2}\) D. \(m = -\frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + m + 2\) Hàm số \(f(x)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x\in \left( {0; + \infty } \right)\) và phương trình \($f'\left( x \right) =0\) có hữa hạn nghiệm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). \(y' = {x^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)x \ge 0\), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4mx \ge 0\\ \Leftrightarrow x + 2 - 4m \ge 0\,(Do\,x > 0)\\ \Leftrightarrow m \le \frac{{x + 2}}{4} \end{array}\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{4}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Để \(m \le g\left( x \right)\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(m \le \frac{1}{2}\) . Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn đề bài là \(m = \frac{1}{2}\).
Câu 517: Một chất điểm chuyển động theo quy luật $v = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2}+2t+ 20$ (t tính theo giây). Vận tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm nào? A. t=1 giây B. t=3 giây C. t=5 giây D. t=16 giây Spoiler: Xem đáp án Thực chất đây là bài toán tìm GTNN của hàm số một đoạn cho trước. Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{1}{4}{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + 2t + 20\) với t>0. \(f'\left( t \right) = {t^3} - 3t + 2\) \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = - 2\left( l \right)} \end{array}} \right.\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t=1.
Câu 518: Cho hàm số \(y = 2{x^4} + 4{x^2} - 3\) và các khẳng định sau: (I): Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 3\). (II): Hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\). (III): Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\). Các khẳng định đúng là? A. Chỉ I B. Chỉ II C. Chỉ III D. Cả I, II, III Spoiler: Xem đáp án \(y = 2{x^4} + 4{x^2} - 3\) \(\begin{array}{l} y' = 8{x^3} + 8x\\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{array}\) Phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất và hệ số của \(x^4\) dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0. Giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 3\).
Câu 519: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{5x + 3}}{{x - 2}}\) trên [3;5]. A. \(m = \frac{{28}}{3}\) B. \(m = - \frac{3}{2}\) C. \(m = - 2\) D. \(m =5\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y'=\frac{{ - 13}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x\ne2\). Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên [3;5]. Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \frac{{28}}{3}\)
Câu 520: Khẳng định nào sau đây là đúng về tính đơn điệu của hàm số $y = {x^3} +2{x^2}+x +6$? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;-1} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{3}; + \infty } \right)\) . B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{{ - 1}}{3}; + \infty } \right)\). C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\). D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;-1} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{3}; + \infty } \right)\). Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^3} + 2{x^2} + x + 6\), TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) \(y' = 3{x^2} + 4x + 1\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = - \frac{1}{3}} \end{array}} \right.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\), hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1; - \frac{1}{3}} \right)\).
