Câu 521: Cho đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) đạt cực đại tại A(0;3) và cực tiểu B(-1;-5). Tính giá trị của $P = a+ 2b+3c$. A. P=-5 B. P=-9 C. P=-15 D. P=3 Spoiler: Xem đáp án \(y' = 4a{x^3} + 2bx\) Hàm số đạt cực đại tại A(0;-3) ta có: y’(0)=0; y (0)=-3 suy ra c=-3. Hàm số đạt cực tiểu tại B(-1;-5) ta có: y’(-1) = 0; y (-1)=-5 Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4a - 2b = 0\\ a + b - 3 = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 4 \end{array} \right.\) Thay vào P ta có: P=2-8-9 =-15.
Câu 522: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4km. Trên bờ biển có 1 cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người gác ngọn hải đăng chèo thuyền từ ngọn hải đăng đến vị trí M trên bờ biển rồi đi bộ đến C. Biết rằng vận tốc chèo thuyền là 3km/h và vận tốc đi bộ là 5km/h. Xác định vị trí điểm M để người đó đến C nhanh nhất. A. MB = 3km B. MB = 4 km C. M trùng B D. M trùng C Spoiler: Xem đáp án Đặt BM = x ⇒ CM = 7 – x (0 ≤ x ≤ 7) \(AM = \sqrt {{x^2} + 16}\) Thời gian để người đó đi từ A đến C là \(t = \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = f(x)\). Xét hàm số f(x) trên [0;7] Với x ∈ [0;7] thì \(f'(x) = \frac{x}{{3\sqrt {{x^2} + 16} }} - \frac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 16} \Leftrightarrow x = 3\) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=3
Câu 523: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}+m$ có hai cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành. A. 0 < m < 2 B. m < 0 C. m > 2 D. 0 < m < 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu tại hai điểm \({M_1}\left( {0;m} \right),\,{M_2}\left( {2;m - 4} \right)\). Để đồ thị hàm số hai điểm cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành thì giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số phải trái dấu nhau hay: \(m.(m - 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).
Câu 524: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^3 – mx^2 + (m - 1)x + 1$ đồng biến trên khoảng (1; 2). A. \(m \le \frac{{11}}{3}\) B. \(m < \frac{{11}}{3}\) C. \(m \le 2\) D. \(m < 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2}-2mx + m-1\) Với x ∈ (1;2) thì \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + m - 1 > 0 \Leftrightarrow m(1 - 2x) > 1 - 3{x^2} \Leftrightarrow m < \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}(*)\) Hàm số đã cho đồng biến trên (1;2) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng ∀x ∈ (1;2) Xét hàm số \(f(x) = \frac{{1 - 3{x^2}}}{{1 - 2x}}\) trên [1;2], có \(f'(x) = \frac{{ - 6x(1 - 2x) + 2(1 - 3{x^2})}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} = \frac{{6{x^2} - 6x + 2}}{{{{(1 - 2x)}^2}}} > 0,\forall x \in (1;2)\) \(\Rightarrow f(x) > f(1) = 2,\forall x \in (1;2)\) Vậy giá trị của m thỏa mãn là m ≤ 2
Câu 525: Cho hàm số \(y = (x - 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 D. Hàm số không có cực đại Spoiler: Xem đáp án \(y = (x - 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\) \(y' = \sqrt[3]{{{x^2}}} + (x - 5).\frac{2}{{3\sqrt[3]{x}}} = \frac{{5(x - 2)}}{{3\sqrt[3]{x}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\) Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=2.
Câu 526: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\) đồng biến trên R. A. \(- 1 < m < 1\) B. \(- 1 \le m \le 1\) C. \(- 2 < m < 2\) D. \(- 2 \le m \le 2\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\) \(\Rightarrow y' = {x^2} + 2mx + 1\) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 1 \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ \Delta ' = {m^2} - 1 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 1 \le m \le 1 \end{array}\)
Câu 527: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = {x^2} - 2{x^2} - 4x + 1\) trên đoạn [1; 3]. A. \(M = - 2.\) B. \(M = - 4\). C. \(M = \frac{{67}}{{27}}\) D. \(M = -7\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 4x - 4\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\) \(y(1) = - 4;y(2) = - 7;y(3) = - 2\) Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = - 2\).
Câu 528: Cho bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3 B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1 D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1 Spoiler: Xem đáp án Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy Hàm số đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 2. Vậy B là phương án cần tìm.
Câu 529: Cho hàm số $y = - {x^4} +2{x^2}+1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty ).\) B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0).\) C. Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty ).\) D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\) Spoiler: Xem đáp án \({\rm{y' = - 4}}{{\rm{x}}^3} + 4x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đáp án D đúng.
Câu 530: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x{(x - 1)^2}(2x + 3)\). Hỏi hàm số \(y = f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua \(x=0\) và\(x=-\frac{3}{2}\) nên hàm số đạt cực trị tại \(x=0\) và\(x=-\frac{3}{2}\) .
