Câu 531: Một khối hộp chữ nhật $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có đáy $ABCD$ là một hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32. Hỏi thể tích lớn nhất V của khối hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ là bao nhiêu? A. \(V = \frac{{56\sqrt 3 }}{9}\) B. \(V= \frac{{70\sqrt 3 }}{9}\) C. \(V = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\) D. \(V = \frac{{80\sqrt 3 }}{9}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là cạnh hình vuông đáy. y là chiều cao hình hộp. Diên tích toàn phần: \({S_{tp}} = 2\left( {{x^2} + 2xy} \right) = 32 \Leftrightarrow {x^2} + 2xy = 16 \Rightarrow xy = \frac{{16 - {x^2}}}{2} > 0\) Thể tích hình hộp là:\(V = {x^2}y = x.xy = x.\frac{{16 - {x^2}}}{2} = \frac{1}{2}\left( {16x - {x^3}} \right),x \in \left( {0;4} \right)\) Xét hàm số: \(f(x) = 16x - {x^3}\) trên (0;4) \(f'(x) = 16 - 3{x^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\,(Do\,x \in \left( {0;4)} \right)\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\); \(\mathop {\max f(x)}\limits_{x \in \left( {0;4} \right)} = \frac{{128\sqrt 3 }}{9}\) Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là \(V = \frac{1}{2}.\frac{{128\sqrt 3 }}{9} = \frac{{64\sqrt 3 }}{9}\)
Câu 532: Tìm m để hàm số \(y = \frac{{2mx + 1}}{{m - x}}\) đạt giá trị lớn nhất là \(- \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). A. m=-5 B. m=1 C. m=0 D. m=-2 Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{2mx + 1}}{{m - x}} \Rightarrow y' = \frac{{2{m^2} + 1}}{{{{(m - x)}^2}}} > 0,\forall x \in \backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\) Nên hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Nếu \(m \in \left[ {2;3} \right]\) thì hàm số không có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3]. Nếu \(m \notin \left[ {2;3} \right]\) thì giá trị lớn nhất của hàm số trên [2;3] là \(y(3) = \frac{{6m + 1}}{{m - 3}} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 533: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhận có chiều sâu gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể) ( làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy). A. Dài 2,42m và rộng 1,82m B. Dài 2,74 m và rộng 1,71 m C. Dài 2,26 m và rộng 1,88 m D. Dài 2,19 m và rộng 1,91 m Spoiler: Xem đáp án Gọi chiều rộng và chiều sâu của bể lần lượt là 2t và 3t. Suy ra chiều dài của bể là: \(\frac{{12}}{{2t.3t}} = \frac{2}{{{t^2}}}\) Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phân của bể phải nhỏ nhất. \({S_{tp}} = 2\left( {2t.3t + 2t.\frac{2}{{{t^2}}} + 3t.\frac{2}{{{t^2}}}} \right) = 2\left( {6{t^2} + \frac{{10}}{t}} \right)\) Xét hàm số \(f(t) = 6{t^2} + \frac{{10}}{t},t > 0\) \(\begin{array}{l} f'(t) = 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}}\\ f'(t) = 0 \Leftrightarrow 12t - \frac{{10}}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{12{t^3} - 10}}{{{t^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 12{t^3} - 10 = 0\,\,(do\,t > 0)\\ \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}} \end{array}\) Lập bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\). Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là: \(2t \approx 1,88(m);\,\frac{2}{{{t^2}}} \approx 2,26(m)\).
Câu 534: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-3m{x^2} + 3\left( {{m^2}-{\rm{ }}1} \right)x-3{m^2}{\rm{ + }}5\) đạt cực đại tại x = 1. A. m=0 hoặc m=2 B. m=2 C. m=1 D. m=0 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = {x^3} - 3m{x^2} + 3({m^2} - 1)x - 3{m^2} + 5\\ y' = 3{x^2} - 6mx + 3({m^2} - 1)\\ y'' = 6x - 6m \end{array}\) \(y'(1) = 0 \Rightarrow 3 - 6m + 3({m^2} - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\) Với m=0, \(y''(1) = 6 > 0\) (loại) Với m=2, \(y''(1) = - 6 < 0\). Đến đây ta cần thử lại xem với m=2 hàm số có đạt cực đại tại x=1 hay không mới có thể kết luận. Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm, không có phương án không tồn tại giá trị m nên ta có thể chọn ngay phương án B.
Câu 535: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} - 2mx + 1}}\) không có tiệm cận đứng. A. m=1 B. m=-1 C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( -1;1)\) Spoiler: Xem đáp án Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi thỏa 1 trong 2 trường hợp sau: + TH1: Không tồn tại \(x_0\) để \(g(x_0)=0\). + TH2: \(\forall {x_0}\) để \(g(x_0)=0\) thì \(f(x_0)=0\). Xét tử thức: \(f(x) = 5x - 3\) có nghiệm \(x=\frac{3}{5}\). Xét mẫu thức: \(g(x) = {x^2} - 2mx + 1\). Khồng tại m để g(x) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3}{5}\) nên hàm số đã cho không có tiệm cận đứng khi phương trình \(g(x)=0\) vô nghiệm. Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' = {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1.\)
Câu 536: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{mx + 2}}{{2x + m}}\) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. A. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) B. \(m =2\) C. \(m \in \left( { - 2 ; 2} \right)\) D. \(m =-2\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{mx + 2}}{{2x + m}}\) \(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{(2x + m)}}\) \(y'=0\) khi m=-2 và m=2. Với m=-2 và m=2 ta thấy hàm số đã cho trở thành hàm hằng. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi: \(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{(2x + m)}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right.\)
Câu 537: Hàm số $y = - {x^3}+3{x^2} +9x$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. \(\left( { - 2;3} \right)\) B. \(\left( { - 2;-1} \right)\) C. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) D. \(\left( { 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x\) \(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} + 6x + 9\\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\\ y' > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 3 \end{array}\) Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên \(\left ( -1;3 \right )\) nên đồng biến trên \(\left ( 2;3 \right )\).
Câu 538: Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + m – 1$ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều. A. m=3 B. m=0 C. m>0 D. \(m = \sqrt[3]{3}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\) Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có ba nghiệm phân biệt. Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi m>0. Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số: \(A(0;m - 1),\,B( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1),\,C( - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1)\) Ta có tam giác ABC cân tại A. Vậy ABC đều khi và chỉ khi: \(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} - 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)
Câu 539: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số). (I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó. (II): Hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ (a ≠ 0) luôn có ít nhất một cực trị (III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định. (IV): Hàm số $y = \frac{{ax+ b}}{{cx +d}}\left( {c \ne 0,ad - bc \ne 0} \right)$ không có cực trị. Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án (I), (III) là sai: Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng giá trị cực tiểu của nó vì tính “cực đại” hay “cực tiểu” là chỉ xét trên một “lân cận” (khoảng (x0 – h;x0 + h)) của x0, không xét trên toàn bộ tập xác định. Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn một giá trị nào đó của hàm số trên tập xác định. (II) đúng: Hàm số bậc 4 trùng phương luôn có ít nhất một cực trị tại điểm x=0. (IV) đúng: Hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) không có cực trị vì đạo hàm \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) luôn âm hoặc luôn dương trên tập xác định.
Câu 540: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó? A. \(y = \frac{{x + 5}}{{ - x - 1}}\) B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) C. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) D. \(y = \frac{{x - 2}}{{2x - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) \(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0\) Nên hàm số luôn nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Kiểm tra tương tự với các hàm số ở các phương án khác.
