Câu 541: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân. A. \(m = 1\) B. \(m = -1\) C. \(m = \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\) D. \(m =- \frac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\) Đề phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} = - m\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m<0 nên ta loại ngay A,C. Đến đây ta có thể thử từng giá trị của 2 đáp án còn lại. m = -1 thỏa yêu cầu bài toán. Giải chi tiết như sau: Với m<0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị có tọa độ: \(A(0;1);\,B( - \sqrt { - m} ;1 - m);\,C\left( {\sqrt { - m} ;1 - m} \right)\) Đường thẳng BC song song với trục hoành nên: \(BC = \left| {{x_B} - {x_C}} \right| = 2\sqrt { - m}\) Gọi I là trung điểm của BC \(\Rightarrow I\left( {0;1 - m} \right)\) AI song song với trục Oy nên: \(AI = \left| {{y_A} - {y_I}} \right| = - m\) Tam giác ABC vuông khi \(AI = \frac{1}{2}BC \Rightarrow - m = \sqrt { - m} \Leftrightarrow m = - 1\) (do m<0)
Câu 542: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + {m^2}x + 5\) có 2 điểm cực trị. A. \(2 \le m \le 3\) B. \(m<\frac{1}{2}\) C. \(m>\frac{1}{3}\) D. \(m=1\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Ta có:\(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2}\) \(\Delta ' = - 2m + 1\) Phương trình y' = 2 có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\)
Câu 543: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {x + 1} .\sqrt {3 - x}\). A. \(m = \frac{9}{{10}}\) B. \(m = 2\sqrt 2 - 1\) C. \(m = \frac{8}{{10}}\) D. \(m = 2\sqrt 2 - 2\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \(t = \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} \,(t \ge 0) \Rightarrow {t^2} = 4 + 2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\) Mặt khác: \(2\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} \le \left( {1 + x} \right) + \left( {3 - x} \right) = 4 \Rightarrow {t^2} \le 8 \Rightarrow t \le 2\sqrt 2\) \(\Rightarrow t \in \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) Ta có: \(\sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\) \(\Rightarrow \sqrt {1 + x} + \sqrt {3 - x} - \sqrt {1 + x} .\sqrt {3 - x} = t - \frac{{{t^2} - 4}}{2} = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) Xét hàm số \(f(t) = - \frac{{{t^2}}}{2} + t + 2\) trên \(\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) Ta có: \(f'(t) = - t + 1 \Leftrightarrow t = 1 \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]\) \(f(2) = 2\) \(f(2\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 - 2\) \(\Rightarrow \mathop {\min y}\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} = \mathop {\min f(t)}\limits_{\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]} = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 - 2\)
Câu 544: Cho hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} - x - 3\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) B. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( - \infty;\frac{1}{2} \right )\) C. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left ( - \infty;\frac{1}{2} \right )\) và \(\left ( -\frac{1}{2};+\infty \right )\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = - 4{x^2} - 4x - 1 = - {(2x + 1)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\). \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\) Do đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 545: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \log _2^2x - 4{\log _2}x + 1\) trên đoạn [1;8]. A. m=-2 B. m=1 C. m=-3 D. m=-5 Spoiler: Xem đáp án Đặt \({\log _2}x = t\) với \(x\in \left[ {1;8} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\) Khi đó ta xét hàm số \(f(t) = {t^2} - 4t + 1\) \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\). \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1;8} \right]} y = \mathop {M\inf (t)}\limits_{t \in \left[ {0;3} \right]} = Min\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 2 \right) = - 3\)
Câu 546: Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s = 6{t^2} - {t^3}\). Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t=2 B. t=3 C. t=4 D. t=5 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(v = s'\) hay \(v = 12t - 3{t^2}\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = 12t - 3{t^2}\) với \(t > 0\) \(f'(t) = 12 - 6t\) Lập bảng biến thiên ta tìm được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=2. Nên vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2
Câu 547: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) B. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\) D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \( y' = {x^2} - x - 6\\ \) \(y' < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 3\) Nên hàm số đã cho nghịch biến trên \(\left( { - 2;3} \right)\)
Câu 548: Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1 C. Hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=1. D. Hàm số có đúng một cực trị Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=0 và đạt cực tiểu tại x=1. Lưu ý: Hàm số vẫn có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm không xác định.
Câu 549: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = 2x + \sqrt {5 - {x^2}}\). A. M=5 B. \(M = - 2\sqrt 5\) C. M=6 D. \(M = - 2\sqrt 6\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\) \(\begin{array}{l} y' = 2 + \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {5 - {x^2}} }}\\ y' = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{x}{{\sqrt {5 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\sqrt {5 - {x^2}} \\ \sqrt {5 - {x^2}} \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le x < \sqrt 5 \\ {x^2} = 4\left( {5 - {x^2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 \end{array}\) Ta có: \(\begin{array}{l} y( - \sqrt 5 ) = - 2\sqrt 5 ;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = 5\\ y\left( {\sqrt 5 } \right) = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in D} y = 5 \end{array}\)
Câu 550: Tìm các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\). A. x=-1 B. x=0 C. x=5 D. x=1;x=2 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = {x^4} + 3{x^2} + 2\\ y' = 4{x^3} + 6x \end{array}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vì phương trình \(y' = 0\) có 1 nghiệm và hệ số của \(x^4\) dương nên x=0 là điểm cực tiểu.
