Câu 551: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2;4]. A. m=-2 B. m=6 C. m=-3 D. \(m = \frac{{19}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\\ y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \end{array}\) Ta có: \(y(2) = 7;\,y(3) = 6;\,y(4) = \frac{{19}}{3}\) Suy ra: \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} y = Min\left\{ {y\left( 2 \right),y\left( 3 \right),y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 3 \right) = 6\)
Câu 552: Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\) bằng 10. A. m=2 B. m=1 C. m=3 D. m=4 Spoiler: Xem đáp án Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\). \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx}}{{1 - x}}\) TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x - m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} - 2.1 - m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\) Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: \(y = \frac{{\left( {{x^2} + mx} \right)'}}{{(1 - x)'}} = \frac{{2x + m}}{{ - 1}} = - 2x - m\) Gọi \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} - m} \right);\,B\left( {{x_2}; - 2{x_2} - m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = - m \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} - 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} - 4( - m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
Câu 553: Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 2\). A. \({y_{CD}} = 0\) B. \({y_{CD}} = 4\) C. \({y_{CD}} = -1\) D. \({y_{CD}} = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại là \(y_{CD}=y(-1)=0\).
Câu 554: Hỏi hàm số \(y = 2{x^4} + 1\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( {0; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) C. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) D. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 8{x^3}\\ y' > 0 \Leftrightarrow 8{x^3} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \end{array}\) Nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Câu 555: Tìm giá trị của m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;1] bằng 0? A. m=0 B. m=6 C. m=4 D. m=2 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) trên [-1;1]. \(\begin{array}{l} y' = - 3{x^2} - 6x\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \end{array} \right. \end{array}\) Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow x = 0\) \(\begin{array}{l} y( - 1) = - 2 + m\\ y(0) = m\\ y(1) = - 4 + m \end{array}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;1] là \(y(0) = - 4 + m\) Ta có: \(- 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = 4\).
Câu 556: Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)? A. \(y = {x^3} + 3x + 1\) B. \(y = \tan x\) C. \(y = {x^2} + 2\) D. \(y = 2{x^4} + {x^2}\) Spoiler: Xem đáp án Phương pháp: Điều kiện đề hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) + \(f(x)\) liên tục trên . + \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và số giá trị x để \(f'(x)=0\) là hữu hạn. Lần lượt đi kiểm tra các hàm số. Ta có A là phương án cần tìm vì \(y = {x^3} + 3x + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Chú ý: Hàm số \(y = \tan x\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên không thể đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 557: Một người có một dải ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? A. \(4000\pi {\rm{ }}c{m^3}\) B. \(3200\pi {\rm{ }}c{m^3}\) C. \(1000\pi {\rm{ }}c{m^3}\) D. \(1600\pi {\rm{ }}c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Dải ruy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh cái hộp, do đó chiều dài của dải ruy băng chính là tổng chu vi của hai hình chữ nhật bằng nhau có đội dài các cạnh là 2r, h. Với r là bán kính đáy hộp, h là chiều cao hộp. Chiều dài ruy băng đã phải trừ đi phần duy băng dùng để thắt nơ, nghĩa là: \(2.2.\left( {2r + h} \right) = 120 \Leftrightarrow h = 30 - 2r\) Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công thức: \(V = S.h = \pi .{r^2}\left( {30 - 2r} \right) = \pi \left( { - 2{r^3} + 30{r^2}} \right)\) Xét hàm số \(f\left( r \right) = - 2{r^3} + 30{r^2}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \(f'\left( r \right) = - 6{r^2} + 60r;f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r = 0}\\ {r = 10} \end{array}} \right.\) Khi đó vẽ BBT ta được \(\mathop {Max}\limits_{\left( {0;10} \right)} f\left( r \right) = f\left( {10} \right)\) . Khi đó thể tích của hộp quà \(V = S.h = \pi {.10^2}.10 = 1000\pi\)
Câu 558: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = m{x^3} - \left( {{m^2} +1} \right){x^2} +2x - 3$ đạt cực tiểu tại x=1. A. \(m = 0\) B. \(m = -1\) C. \(m = -2\) D. \(m = \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = m{x^3} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x - 3\) \(\begin{array}{l} y' = 3m{x^2} - 2({m^2} + 1)x + 2\\ y'' = 6mx - 2({m^2} + 1) \end{array}\) \(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m - 2({m^2} + 1) + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\) Với m=0: \(y''(1) = - 2 < 0\) Vậy m=0 không thỏa yêu cầu bài toán. Với \(m = \frac{3}{2}\): \(y''(1) = \frac{5}{2} > 0\). Thử lại ta thấy với \(m = \frac{3}{2}\) hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 559: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2]? A. m<0 B. m=2 C. m>0 D. m=-2 Spoiler: Xem đáp án Xét m=0 thì y=0 là hàm hằng, không thỏa yêu cầu bài toán. Với \(m \ne 0\), ta có: \(\begin{array}{l} y = \frac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\\ y' = \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \end{array}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\) Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [-2;2] khi: \(\left\{ \begin{array}{l} y\left( 1 \right) > y\left( { - 2} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( { - 1} \right)\\ y\left( 1 \right) > y\left( 2 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{m}{2} > - \frac{{2m}}{5}\\ \frac{m}{2} > - \frac{m}{2}\\ \frac{m}{2} > \frac{{2m}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)
Câu 560: Hàm số nào sau đây không có cực trị? A. \(y = {x^3} - 3x\) B. \(y = {x^3} - 3x^2\) C. \(y = {x^4} - 2{x^2}\) D. \(y = 3{x^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta kiểm tra lần lượt các phương án: + Với phương án C, hàm số bậc bốn trùng phương luôn có tối thiểu một điểm cực trị. + Với phương án A, C, D hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt. Kiểm tra ta thấy hàm số \(y = 3{x^3}\) có \(y' = 9{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số không có cực trị. Vậy D là phương án cần tìm.
