Câu 561: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {\left( {1 - 2x} \right)^4}\) sau tại điểm x=2? A. \(y''(2)=81\) B. \(y''(2)=432\) C. \(y''(2)=108\) D. \(y''(2)=-216\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = - 2.4{(1 - 2x)^3} = - 8{(1 - 2x)^3}\\ y'' = - 8\left[ { - 2.3{{(1 - 2x)}^2}} \right] = 48{(1 - 2x)^2}\\ \Rightarrow y''(2) = 432 \end{array}\)
Câu 562: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\). A. \(M = - 3\) B. \(M = \frac{-1}{3}\) C. \(M = 1\) D. \(M = \frac{1}{5}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\), TXĐ:\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) Vậy hàm số liên tục và xác định trên [-2;2]. Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{(x + 3)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 3\) Nên hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên [-2;2] Suy ra: \(f(x) < f(2) = \frac{1}{5},\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;2] là \(\frac{1}{5}\).
Câu 563: Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a > 0;b > 0} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\) Do \(a > 0;b > 0\) nên phương trình \(y'=0\) chỉ có một nghiệm duy nhất. Do đó đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 564: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x=x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0. Tìm V0? A. V0=48 B. V0=16 C. V0=64 D. \(V_{0}=\frac{64}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Đây là một dạng bài toán ứng dụng thực thế kết hợp cả phần tính thể tích khối đa diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I phần giải tích. Trước tiên ta nhận thấy: \(V = \left( {6 - x} \right)\left( {12 - 2x} \right)x = 2x{\left( {x - 6} \right)^2}\) \(= 2x\left( {{x^2} - 12x + 36} \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x\) trên \(\left( {0;6} \right)\) \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 48x + 72;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6\\ x = 2 \end{array} \right.\) Khi đó ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;6} \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 64\). Đền đây cần cẩn thận đọc kĩ yêu cầu đề bài để tránh nhằm lẫn. “Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới là chứa đầy chocolate nguyên chất”. Nên \({V_0} = \frac{3}{4}.64 = 48\).
Câu 565: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) có ba điểm cực trị. A. \(1 < m < 2\) B. \(- 1 < m < 0\) C. \(m > 1\) D. \(0 < m < 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) \(y' = 4m{x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\) \(y' = 0 \leftrightarrow x\left( {4m{x^2} + 2m - 2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4m{x^2} + 2m - 2 = 0\,\left( I \right) \end{array} \right.\) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi (I) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. \(\left\{ \begin{array}{l} 4m{.0^2} + 2m - 2 \ne 0\\ m \ne 0\\ \frac{{2 - 2m}}{m} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m \ne 0\\ 0 < m < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1\)
Câu 566: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số: \(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) trên \(\left[ { - 1;3} \right]\). Tính tổng M+m. A. M+m=128 B. M+m=0 C. M+m=127 D. M+m=126 Spoiler: Xem đáp án \(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\) ta có \(y' = 8{x^3} - 8x,y' = 0 \leftrightarrow x = - 1;x = 0;x = 1\) Vì hàm số liên tục và xác định trên đoạn nên ta có \(\mathop {Min}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = - 1 \to m = - 1\) \(\mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 127 \to M = 127\) Vậy \(M + m = 127 - 1 = 126\).
Câu 567: Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 1}}{{3x + 1}}\). Trong các khoảng sau, hàm số không nghịch biến trong khoảng nào? A. \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\) B. \(\left( {5;7} \right)\) C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) D. \(\left( { - 1;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(D = R\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{3}} \right\}\) \(y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)nên hàm số luôn nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\). Vậy hàm số không nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\).
Câu 568: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2} = {y^3} - 3x - 1\\ {x^2} + x + y = 5 \end{array} \right.\) có 2 nghiệm là \(\left( {{x_1};{y_2}} \right)\) và \(\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Tính tích \(P = {x_1}.{x_2}.{y_1}.{y_2}\). A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2} = {y^3} - 3x - 1\,\,\,(1)\\ {x^2} + x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right.\) Biến đổi (1) thành: \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {y^3}\) \(\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = {y^3}\,(3)\) Xét hàm số:\(f(t) = {t^3}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \(\left( 3 \right) \Rightarrow f(x + 1) = f(y) \Leftrightarrow y = x + 1\) \({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = 2\\ x = - 2 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là (1;2) và (-2;-1) Vậy P=4
Câu 569: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}}\) . A. \(M=2\sqrt 2\) B. M=2 C. M=3 D. M=1 Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = {\rm{[ - 2;2]}}\) \({\rm{y' = 1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow {\rm{1 - }}\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {4 - {x^2}} \\ 4 - {x^2} > 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4 - {x^2}\\ x \ge 0\\ - 2 < x < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2\) \(y( - 2) = - 2\) \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2\) \(y(2) = 2\) Vậy GTLN của hàm số là \(2\sqrt 2\)
Câu 570: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số xác định trên R B. Hàm số đồng biến trên R C. Hàm số có cực trị D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3} \right\}\) Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) có \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3; + \infty } \right)\)
