Câu 571: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên R. A. \(m \in \left[ { - 2;2} \right]\) B. \(m \in \left( { - 3;1} \right)\) C. \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) D. \(m \in R\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D=R . Hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 4x + 3\) có \(y' = {x^2} + 2mx + 4\). Hàm số đã cho đồng biến trên R khi \(y' \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} 1 \ge 0\\ \Delta ' = {m^2} - 4 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le m \le 2\)
Câu 572: Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 7\) nghịch biến trên khoảng nào? A. \(\left( {0;1} \right)\) B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 1;0} \right)\) D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 7\) có \(y' = 4{x^3} - 4x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \pm 1\) Xét dấu của y' ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \pm 1\). Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\)
Câu 573: Tìm tọa độ diểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) . A. -1 B. (1;-3) C. -7 D. (-1;-7) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D=R\{0} Hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) có đạo hàm \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1. Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: (1; -3)
Câu 574: Cho hàm số \(y = \sin x - \cos x + \sqrt 3 x\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) B. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) C. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \sin x - \cos x + \sqrt 3 x\) có \(y' = \cos x + \sin x + \sqrt 3\). Ta thấy \(\sin x + \cos x + \sqrt 3 = \sqrt 3 + \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) > \sqrt 3 - \sqrt 2 > 0\) Nên hàm số đã cho luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Câu 575: Một chất điểm chuyển động theo qui luật \(s = 6{t^2} - {t^3}\)(trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t=2 B. t=4 C. t=1 D. t=3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động của vật nên ta có phương trình vận tốc của vật là \(v = s' = 12t - 3{t^2}\). Xét hàm số \(f(t) = 12t - 3{t^2}\) Ta dễ dàng kiểm tra được hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t=2.
Câu 576: Cho hàm số \(y = x - {e^x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 B. Hàm số đạt cực đại tại x=0 C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) D. Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = x - {e^x}\) có \(y' = 1 - {e^x},y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Ta có: Ta thấy y' đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua điểm 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x=0 nên B đúng. C và D sai vì: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) Hàm số có tập xác định là D=R
Câu 577: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\) trên \(\left[ {1;3} \right]\). Tính tổng \(\left( {M + m} \right)\). A. 6 B. 4 C. 8 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \notin \left[ {1;3} \right]\\ x = 2 \in \left[ {1;3} \right] \end{array} \right.\) Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( 1 \right) = 1,y\left( 2 \right) = - 1\), \(y\left( 3 \right) = 3\). Do đó: \(M = y\left( 3 \right) = 3,m = y\left( 2 \right) = - 1\). Nên \(M + m = 3 - 1 = 2\)
Câu 578: Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2017\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ;3} \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 1;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = - 1 \end{array} \right.\) \(y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 3 \end{array} \right.\) Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
Câu 579: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1. Spoiler: Xem đáp án Phân tích: A sai do hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất là 0. B sai do hàm số đạt GTLN bằng 1. C sai do có tồn tại GTLN của hàm số.
Câu 580: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 200km. Vận tốc của dòng nước là 8km/h. nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong 1 giờ được cho bởi công thức:\(E(v) = c{v^3}t\) (trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun). Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 12 km/h B. 9 km/h C. 6 km/h D. 15 km/h Spoiler: Xem đáp án Ta có \(200 = \left( {v - 8} \right).t \Rightarrow t = \frac{{200}}{{v - 8}}\). Khi đó \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v - 8}}\). Do c là hằng số nên để năng lượng tiêu hao ít nhất thì \(E\left( v \right) = c{v^3}\frac{{200}}{{v - 8}}\) nhỏ nhất. Xét hàm số f(v) trên \(\left( {8; + \infty } \right)\) \(f'\left( v \right) = 200.\frac{{3{v^2}\left( {v - 8} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 8} \right)}^2}}} = 200.\frac{{2{v^3} - 24{v^2}}}{{{{\left( {v - 8} \right)}^2}}}\) \(f'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 12\) Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số \(f(v)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại v=12.
