Câu 581: Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - 2{x^2} - 1\). Chọn khẳng định đúng: A. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\) C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 4{\rm{x = 0}}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 2 \end{array} \right.\). Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).
Câu 582: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = - {x^3} + 3m{x^2} - 3(2m - 1)x + 1\) nghịch biến trên R. A. m=1 B. Không có giá trị của m C. \(m\neq 1\) D. Luôn thỏa mãn với mọi giá trị của m Spoiler: Xem đáp án \(y' = - 3{x^2} + 6mx - 3\left( {2m - 1} \right)\) \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\). Với m=1 thì \(\Delta ' = 0\). Suy ra \(y' \le 0,\forall x \in R\) Khi đó hàm số nghịch biến trên R.
Câu 583: Tìm tập hợp tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). A. \(m \in ( - \infty ;1) \cup (2; + \infty )\) B. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\) C. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\) D. \(m \in \left[ {1;2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ { - m} \right\}\) \(y' = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) \(y' = 0\) khi m=-1, m=2. Với m=-1 thì y=0 là hàm hằng. Với m=2 thì y=2 là hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) khi: \(\left\{ \begin{array}{l} - m \notin \left( { - 1; + \infty } \right)\\ y' < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)
Câu 584: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\) B. \(m = 16\) C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\) D. \(m = - \sqrt[3]{{16}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4mx\\ y' = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} - m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\) Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt. Phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này xảy ra khi m>0. Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0). Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0 Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { - \sqrt m } \right)\) \(= {m^2} - 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} - {m^2} + 2m\) Suy ra phương trình BC là: \(y - ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\) Khi đó: \(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} - \left( {{m^4} + 2m - {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\) Như vậy rõ ràng \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\) \(= \frac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
Câu 585: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - mx - 10\) đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) A. \(m \ge 0\) B. \(m \le 0\) C. Không có m D. Đáp số khác Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \({y^/} = {x^2} + 4x - m\) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) khi \({y^/} \ge 0{\rm{ }},\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\) \(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - m \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x \ge m\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;\, + \infty } \right)\) Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + 4x\) trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\) Ta có: \({f^/}(x) = 2x + 4 > 0{\rm{ }},\forall x \in [0, + \infty )\) \(\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\) Vậy \(m\leq 0\) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\, + \infty } \right)\).
Câu 586: Hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}a{x^2} + bx + \frac{1}{3}\) đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. Tính tổng a+b khi đó? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(\begin{array}{l} {y^/} = - {x^2} + ax + b\\ {y^{//}} = - 2x + a \end{array}\) \(\left\{ \begin{array}{l} {y^/}(1) = 0\\ {y^{//}}(1) < 0\\ y(1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + a + b = 0\\ - 2 + a < 0\\ \frac{1}{2}a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3\\ a < 2 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 3 \end{array} \right.\) Kiểm tra lại ta thấy giá trị a và b tìm được hoàn toàn thỏa yêu cầu bài toán. Vậy a+b=1.
Câu 587: Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. \(y= \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) B. \(y = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}\) C. \(y = \sqrt {2 - x} - x\) D. \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 3x + 2\) Spoiler: Xem đáp án Lần lượt tính đạo hàm để kiểm tra tính đơn điệu của từng hàm số. Ta thấy ở phương án B: \(y = \frac{{x - 1}}{{2 - x}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0{\rm{ }},\forall x \ne 2\) Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Câu 588: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, chọn câu khẳng định ĐÚNG ? A. Hàm số có 2 cực trị B. Hàm số có 1 cực trị C. Hàm số không có cực trị D. Hàm số không xác định tại x=3 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào BBT ta thấy hàm số xác định tại x = 3 và y’đổi dấu khi đi qua x = 3 suy ra hàm số có đạt cực trị tại x=3. Vậy hàm số có 1 cực trị.
Câu 589: Cho hàm số \(y = m{x^4} - (m - 1){x^2} - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị. A. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( {0;1} \right)\) C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\) D. \(m \in ( - \infty ;0) \cup (1; + \infty )\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c \left ( a\ne0 \right )\) \(y' = 4a{x^3} + 2bx\) \(y'= 0 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}}(*) \end{array} \right.\) Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt. Để phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này xảy ra khi \(\frac{b}{{2a}} < 0\). Áp dụng vào bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \frac{{ - \left( {m - 1} \right)}}{m} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Câu 590: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \(y= 3\sin x - 4{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). A. M=3 B. M=7 C. M=1 D. M=-1 Spoiler: Xem đáp án Đặt \(\sin x = t \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\). Khi đó: \(f(t) = 3t - 4{t^3}\) \(f'\left( t \right) = \left( {3t - 4{t^3}} \right)' = - 12{t^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\) Ta có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\) \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1\) So sánh \(f\left( {\frac{1}{2}} \right)\) và \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right)\) Suy ra: GTLN của hàm số là \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\).
