Câu 51: Xác định m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {2 - m} \right){x^2} + m - 5\) có hai khoảng nghịch biến dạng \(\left( { - \infty ;a} \right)\) và \(\left( {b;c} \right)\) với a < b. A. m > 2 B. 0 < m < 2 C. m < 2 D. m < 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = 4m{x^3} + 2\left( {2 - m} \right)x\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {2m{x^2} + 2 - m} \right) = 0\) Để có 2 khoảng nghịch biến như vậy thì phương trình trên phải có 3 nghiệm phân biệt (tương ứng với các a, b, c ở giả thiết). Như vậy: \(\frac{{m - 2}}{{2m}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\) Do nghịch biến ngay trong khoảng đầu tiên nên suy ra hệ số của \({x^4}\) dương. Vậy m > 2 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 52: Tìm m để hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m - 8} \right)x + {m^2} - 1\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}?\) A. \(m < - 2\) B. \(m \ge - 2\) C. \(m \le - 2\) D. \(m \in \mathbb{R}\) Spoiler: Xem đáp án Xét m=-2, hàm số trở thành \(y = - 10x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) Xét \(m \ne - 2,\) ta có: Hàm số nghịch biến trên trên \(\mathbb{R}\) khi \(f'(x) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m - 8 < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 2\\{\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m - 8} \right) = 10 + 20 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 2.\)
Câu 53: Tìm m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 9}}{{x + m}}\) luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\) A. \( - 3 \le m \le - 1\) B. \( - 3 < m \le - 1\) C. \( - 3 \le m \le 3\) D. \(1 < m < 3\) Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - m{\rm{\} }}\) Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{mx + {m^2} - mx - 9}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) \(f'(x) = 0 \Rightarrow m = \pm 3,\) Khi đó hàm số trở thành hàm hằng. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) khi: \(f'\left( x \right) = \frac{{{m^2} - 9}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 9 < 0\\ - m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 3\\m \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < m \le - 1\)
Câu 54: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x\left( {1 + \cos x} \right)\)trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right].\) A. \(M = \frac{{3\sqrt 3 }}{2};\,\,m = 1\) B. \(M = \frac{{3\sqrt 3 }}{4};\,\,m = 0\) C. \(M = 3\sqrt 3 ;\,\,m = 1\) D. \(M = \sqrt 3 ;\,\,m = 1\) Spoiler: Xem đáp án \(f'\left( x \right) = \cos x + {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\cos x = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi \\x = \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( \pi \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 0\\f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\)
Câu 55: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của: \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}.\) A. \(y = 4x + 1\) B. \(y = 2x + 3\) C. \(y = 2x - 1\) D. \(y = 2x\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = 2 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\) Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là: \(\left( {0;0} \right);(2;4).\) Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: \(y = 2x.\)
Câu 56: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị của hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho ta thấy f’(x) đổi dấu 3 lần nên suy ra hàm số có 3 cực trị.
Câu 57: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}}\). Trong các khẳng định sau, hãy tìm khẳng định đúng? A. \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). B. \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). C. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) D. \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}1\} .\) \(f'\left( x \right) = \frac{4}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \in D\) Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 58: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - 2mx + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) A. Không tồn tại m. B. \(m \ge \frac{1}{2}.\) C. \(m \le - \frac{1}{2}.\) D. \( - \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - 2mx + 2} \right]^\prime } = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - 2m.\) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{x}{{{x^2} + 1}}.\) Xét hàm số \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \Rightarrow f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1 )^2} \Rightarrow f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1.\) Lập bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) ta thấy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{2} \Rightarrow m \le - \frac{1}{2}.\)
Câu 59: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - m}}\) với m là tham số thực. Tìm tập hợp T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right).\) A. \(T = \left( {1; + \infty } \right).\) B. \(T = \left( {1;3} \right].\) C. \(T = \left( { - \infty ;3} \right).\) D. . \(T = \left( {1;3} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x - m}}} \right)^\prime } = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}.\) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow {y'} < 0,\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow 1 - m < 0 \Leftrightarrow m > 1.\) Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}x - m \ne 0\\x \in \left( {3; + \infty } \right)\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;3} \right] \Rightarrow m \in \left( {1;3} \right] \Leftrightarrow T = \left( {1;3} \right].\)
Câu 60: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}?\) A. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\) B. \(y = {x^4} + 2{x^2} + 1.\) C. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2.\) D. \(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + 2.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đáp án ta thấy: Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\} \Rightarrow \) Hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) \({\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right)'} = 4{x^2} + 4x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1 \Rightarrow \)Hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2} + 1\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) \({\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 2} \right)'} = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \)Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\) \({\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + 2} \right)'} = - {x^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 \Rightarrow \)Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2\) không đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
