Câu 591: Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 5{x^2} + 7x - 3\). A. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{32}}{{27}}} \right)\) B. \(\left( {\frac{7}{3};\frac{{ - 32}}{{27}}} \right)\) C. \(\left( {1;0} \right)\) D. \(\left( {0; - 3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} - 10x + 7\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \Rightarrow y = - \frac{{32}}{{27}}\\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \end{array} \right.\) Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{7}{3}\), giá trị cực đại \(y = \frac{{ - 32}}{{27}}\).
Câu 592: Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) (I); \(y = - {x^4} + {x^2} - 2\)(II); \(y = {x^3} - 3x - 5\) (III) A. I và II B. Chỉ I C. I và III D. II và III Spoiler: Xem đáp án Xét (I): Ta có: \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow\) thỏa mãn Xét (II): Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến, nên (II) không thỏa yêu cầu bài toán. Xét (III): \(y' = 3{x^2} - 3\) có 2 nghiệm phân biệt, nên có các khoảng đồng biến và nghịch biến, do đó (III) không thỏa yêu cầu bài toán. Vậy đáp án đúng là B.
Câu 593: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) đồng biến trong khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). A. \(m \le 0\) B. \(m \le 1\) C. \(m \le - 1\) D. \(m \le 2\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D=R \(y' = \frac{{ - mx + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}\) Hàm số ĐB trong \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \(\Leftrightarrow - mx + 1 \ge 0\) mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\,\,\left( 1 \right)\) . m = 0 (1) đúng . \(m > 0: - mx + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1/m\). Vậy (1) không thỏa mãn. .\(m < 0: - mx + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1/m\) . Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{m} \le 0\) (t/m) Giá trị cần tìm là \(m \le 0\) Chọn đáp án A.
Câu 594: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 2\) đạt cực đại tại x=2 A. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\) B. \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\) C. \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\) D. \(m \in \left\{ {5;2} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D =R \(y' = - 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x - \left( {{m^2} + 2m} \right);y'' = - 6x + 2\left( {m + 3} \right)\) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'\left( 2 \right) = 0\\ y''\left( 2 \right) < 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 12 + 4\left( {m + 3} \right) - {m^2} - 2m = 0\\ - 12 + 2m + 6 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 2m = 0\\ m < 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\). Thử lại: m=0 ta có: m=2 thỏa yêu cầu bài toán. Kết luận : Giá trị m cần tìm là m=2 Chọn đáp án A.
Câu 595: Cho hàm số \(y= {x^3} + 3{x^2} + mx + m - 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. A. \(m \le 0\) B. \(m < 3\) C. \(m \ge 0\) D. \(m < 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x + m\). Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phiá trục tung thì phương trình y'=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. Điều này xảy ra khi: \({x_1}.{x_2} < 0 \Rightarrow \frac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Câu 596: Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) trên tập xác định. Tính M-m. A. 1 B. 2 C. 3 D. Đáp số khác. Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = x\sqrt {1 - {x^2}}\) xác định trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) Ta có \(y' = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\\ {x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \end{array}} \right.\). Ta lần lượt so sánh các giá trị \(y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{ - 1}}{2};y\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{2}\) Vậy \(M - m = \frac{1}{2} - \left ( - \frac{1}{2} \right ) = 1\)
Câu 597: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^3}\). Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.
Câu 598: Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 6\). A. yCĐ=2 B. yCĐ=6 C. yCĐ \(\in \left\{ {2;6} \right\}\) D. yCĐ=0 Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định với mọi \(x\in R\). Ta có: \(y' = {x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right)\) \(y'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_3} = - 2\) \(y'' = 3{x^2} - 4\) \(y''\left( { \pm 2} \right) = 8 > 0\) nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu. \(y''\left( 0 \right) = - 4 < 0\) nên x=0 là điểm cực đại. Kết luận: hàm số đạt cực đại tại xCĐ=0 và yCĐ=6. Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 599: Tìm khoảng đồng biến của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}}\). A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) hoặc \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - 1;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện:\(x \ne 1\), \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) Khi đó \(y' = 1 + \frac{{2.1 - 1.1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0{\rm{ }}\forall x \ne - 1\). Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Câu 600: Một người nông dân có 15.000.000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được. A. 6250 m2 B. 1250 m2 C. 3125 m2 D. 50 m2 Spoiler: Xem đáp án Ta đặt các kích thường hàng rào như hình vẽ. Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15.000.000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ: \(3x.50000 + 2y.60000 = 15000000\) \(\Leftrightarrow 15x + 12y = 1500\) \(\Leftrightarrow y = \frac{{150 - 15x}}{{12}} = \frac{{500 - 5x}}{4}\) Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức: \(f\left( x \right) = 2.x.y = 2x.\frac{{500 - 5x}}{4} = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\) Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN: Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( { - 5{x^2} + 500x} \right)\) trên (0;100) \(f'\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( { - 10x + 500} \right),\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 50\) Ta có BBT
