Câu 601: Tìm giá trị lớn nhất của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + x\) đồng biến trên R. A. 1 B. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) C. \(-\frac{1}{{\sqrt 3 }}\) D. 2 Spoiler: Xem đáp án Tập xác định: D = R Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 1\) Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in R\) \(\Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx + 1 \ge 0,\,\forall x \in R\) Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]\) thì hàm số đồng biến trên R. Vậy giá trị lớn nhất của m là \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Câu 602: Với giá trị nào của thì đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm của đoạn nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Yêu cầu của bài toán là tìm m để đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\), thì ta đi tìm 2 điểm cực trị rồi từ đó suy ra tọa độ trung điểm, thay vào phương trình của đường thẳng đã cho rồi ta tìm được m. \(y' = 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow\)hoành độ trung điểm của 2 điểm cực trị là x0=2 \(\Rightarrow M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho. Thay vào phương trình đường thẳng ta được \(2 = 2 + m \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 603: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\). A. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = - 3\) B. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1\) C. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 51;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = - 1\) D. \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = 1\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Khi đó ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \max \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 4 \right) = 51\) \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;4} \right]} y = \min \left\{ {y\left( { - 1} \right);y\left( 1 \right);y\left( 4 \right)} \right\} = y\left( 1 \right) = - 3\)
Câu 604: Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 13x + 6\) có mấy điểm cực trị? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Đây là hàm số bậc ba, vậy để tìm được số điểm cực trị của đồ thị hàm số ta chỉ cần xét số nghiệm của phương trình \(y' = 0\) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 13 = 0\,\left( {VN} \right)\). Vậy đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Câu 605: Hàm số \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 4\) nghịch biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\) B. \(\left( {1;2} \right)\) C. \(\left( {2;3} \right)\) D. \(\left( {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 4\) \(y' = 6{x^2} - 8x + 12 = 0\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 18x + 12 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\) \(y' < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2\) Vậy B là đáp án đúng.
Câu 606: Bạn A có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ. A muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó A phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? A. \(\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\) B. \(\frac{\pi }{3}\) C. \(\frac{\pi }{2}\) D. \(\frac{\pi }{4}\) Spoiler: Xem đáp án Độ dài cung tròn AB dùng làm phễu là: \(Rx = 2\pi r \Leftrightarrow r = \frac{{Rx}}{{2\pi }};\) \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} = \frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}\) Thể tích cái phễu là: \(V = f\left( x \right) = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}}\) với \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{{x^2}\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\) \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\). Vì đây là BT trắc nghiệm nên ta có thể kết luận luôn rằng thể tích của cái phễu lớn nhất khi \(x= \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi\). Vì ta đang xét trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) mà \(f'\left( x \right) = 0\) tại duy nhất một điểm thì ta có thể làm nhanh mà không vẽ BBT nữa.
Câu 607: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. \(\forall m < 1\) thì hàm số có hai cực trị B. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu. C. \(\forall m \ne 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu. D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị. Spoiler: Xem đáp án Vì đây là bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề nên ta cần đi xem xét từng mệnh đề một. Vì đây là bài toán về cực trị nên trước tiên ta đi tìm đạo hàm của hàm số sau đó xét phương trình y'=0 để tìm kết luận cho bài toán. \(y' = {x^2} + 2mx + 2m - 1\). Xét phương trình y'=0, ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Để đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y'=0 phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Từ đây ta thấy mệnh đề C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B.
Câu 608: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{6 - 8x}}{{{x^2} + 1}}\). A. \(M = - 2\) B. \(M = \frac{2}{3}\) C. \(M= 8\) D. \(M= 10\) Spoiler: Xem đáp án Ta có:\(f'\left( x \right) = \frac{{8{x^2} - 12x - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) \(f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 8{x^2} - 12x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 2\\ x = - \frac{1}{2} \Rightarrow f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 8 \end{array} \right.\) Ta vẽ bảng biến thiên và thấy \(\min \,f(x) = - 2;max\,f(x) = 8\)
Câu 609: Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\). A. $y_{CĐ}=2$ B. $y_{CĐ}=1$ C. $y_{CĐ}=-1$ D. $y_{CĐ}=0$ Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ=2.
Câu 610: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\). B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\). C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\). D. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right);\left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 3}}\), TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\) \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0\) Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Lưu ý: Hàm số không nghichi biến trên \(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\) Ví dụ: \(\begin{array}{l} {x_1} = - 2\\ {x_2} = 5 \end{array}\) Ta có: \(x_1<x_2\) Nhưng: \(f({x_1}) = \frac{3}{5} < f({x_2}) = 5\) Nên hàm số không nghịch biến trên \(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3 \right\}\).
