Câu 611: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất? A. \(\frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}(m)\) B. \(\frac{{36\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\) C. \(\frac{{12}}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\) D. \(\frac{{18\sqrt 3 }}{{4 + \sqrt 3 }}(m)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó độ dài cạnh hình vuông là \(\frac{{6 - 3x}}{4}\) Tổng diện tích khi đó là: \(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + {\left( {\frac{{6 - 3x}}{4}} \right)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36} \right)\) Xét hàm số: \(f(x) = \left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 36x + 36,\,\,x \in \left( {0;6} \right)\) \(f'(x) = 2(9 + 4\sqrt 3 )x - 36\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\) Diện tích nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất. Lập bảng biến thiên ta có điều này xảy ra khi: \(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\) Vậy diện tích Min khi \(x = \frac{{18}}{{9 + 4\sqrt 3 }}\).
Câu 612: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}}\) nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\). A. \(m < 1\) B. \(m >2\) C. \(m < 1 \vee m > 2\) D. \(1 \le m < 2\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(x \in R\backslash \left\{ { - m} \right\}\) \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{\left( {m + 1} \right)m - 2m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - m - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\) Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} - m \le - 1\\ {m^2} - m - 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ge 1\\ - 1 < m < 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le m < 2\)
Câu 613: Cho hàm số \(y = \left| x \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nên không đạt cực tiểu tại x=0. B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x=0. C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0. D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \left| x \right| = \sqrt {{x^2}}\) Ta có: \(y' = \sqrt {{x^2}} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}\) => Hàm số không có đạo hàm tại x=0. Hàm số này không có đạo hàm tại x=0. Tuy nhiên ta thấy hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x=0. Nên đáp án B đúng.
Câu 614: Hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) B. \(\left( {1; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 1;1} \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R. \(y' = \frac{{{x^2} + 1 - x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\). Ta thấy với \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) thì \(y' > 0\). Vậy đáp án đúng là C.
Câu 615: Tìm GTNN của hàm số \(y = x - 5 + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};5} \right]\). A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - \frac{5}{2}\) B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = \frac{1}{5}\) C. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 3\) D. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};5} \right]} y = - 2\) Spoiler: Xem đáp án \(y = x - 5 + \frac{1}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\) \(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.\) Ta có: \(y\left( 1 \right) = - 3;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{5}{2};y\left( 5 \right) = \frac{1}{5}\) Vậy GTNN của hàm số bằng -3.
Câu 616: Hàm số \(y = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - 1;3} \right)\) B. \(\left( { - 3;1} \right)\) C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) D. \(\left( {3; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 4,\,\,TX{\rm{D}}:\,D = R\) \(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x + 9\) \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\) \(\Rightarrow y' > 0,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\)=> Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;3} \right)\).
Câu 617: Tìm giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + \left( {2m + 1} \right)x - 2\) đạt cực trị tại x = 1. A. m=1 B. m=-1 C. m=2 D. Không tồn tại m. Spoiler: Xem đáp án Đối với hàm đa thức, điều kiện cần để hàm số đạt cực trị là: \(y' = 0\). Do đó ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + \left( {2m + 1} \right)\) \(y'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - 6m + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) Thử lại với m=1 ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2\) \(\Rightarrow y' = 3{\left( {x - 1} \right)^2}\) không đổi dấu khi qua điểm 1 nên 1 không là cực trị của hàm số. Vậy đáp án của bài toán này là không tồn tại m và đáp án đúng là D.
Câu 618: Tìm m để hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). A. \({\rm{[}} - 1; + \infty )\) B. \(\left( {2; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) D. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{{x - 1}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\) Với m=-1, ta có y=1 là hàm hằng. Vậy điều kiện cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l} m + 1 > 0\\ - m \notin \left( {2; + \infty } \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\) Như vậy đáp án cần tìm là: C.
Câu 619: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m\) có đúng một cực trị. A. \(m \ge 1\) B. \(m \le 0\) C. \(0 \le m \le 1\) D. \(m \le 0 \vee m \ge 1\) Spoiler: Xem đáp án \(y = m{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^2} + 1 - 2m \Rightarrow y' = 4m{x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x = 2x\left( {2m{x^2} + m - 1} \right)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m - 1 = 0\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\) Hàm số chỉ có một cực trị \(\Leftrightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(\Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow - 2m\left( {m - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow m \le 0 \vee m \ge 1\)
Câu 620: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) trên \(\left[ { - 4;4} \right]\). A. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 21\) B. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 14\) C. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = 11\) D. \(\mathop {Min}\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} y = - 70\) Spoiler: Xem đáp án \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 6\) Đây là một câu hỏi dễ lấy điểm. Để tìm được GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) ta giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\). Ta lần lượt so sánh \(f\left( { - 4} \right),f\left( 4 \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 3 \right)\) thì thấy \(f\left( { - 4} \right) = - 70\) là nhỏ nhất. Vậy đáp án đúng là D.
