Câu 621: Số điểm cực trị của hàm số \(y = - \frac{1}{3}{x^3} - x + 7\) là ? A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Ta tính đạo hàm của hàm số được \(y' = - {x^2} - 1\) nhận thấy phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm, nên đáp án đúng là B, hàm số không có cực trị.
Câu 622: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R. A. Hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 4\) B. Hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} - 2x + 1\) C. Hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x - 1\) D. Đáp án B và C. Spoiler: Xem đáp án Hàm đa thức \(y = f\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên R khi và chỉ khi đạo hàm \(f'\left( x \right) \le 0;\,\forall x \in R\) A) \(y = - {x^3} + 3x - 4 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 3\) \(= 3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\) Loại đáp án A. B) \(y = - {x^3} + {x^2} - 2x + 1\) \(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 2x - 2 = - 3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{5}{3} < 0;\,\forall x \in R\) C) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x - 1\) \(\Rightarrow y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\forall x \in R\) Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án D.
Câu 623: Cho hàm số y = f(x). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. \(f'\left( x \right) > 0\) với \(\forall x \in \left( {a,b} \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng (a,b). B. \(f'\left( x \right) > 0\) với \(\forall x \in \left( {a,b} \right)\) khi và chỉ khi f(x) đồng biến trên khoảng (a,b). C. f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\). D. f(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\). Spoiler: Xem đáp án “Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.” Chúng ta nhận thấy rõ ở đây, chỉ có chiều suy ra và không có chiều ngược lại, vậy chúng ta có thể loại được ý B, C. Với ý A và D, soi vào định lý chúng ta có thể thấy được ý A đúng. Vì sao ý D lại sai. Chúng ta cùng nhớ lại định lý mở rộng ở trang 7 SGK, và nhận thấy mệnh đề này còn thiếu rằng f(x)=0 tại hữu hạn điểm.
Câu 624: Cho hàm số: \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m.\) Tìm m để hàm số nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng \(\sqrt 3\). A. \(m = \frac{3}{4}\) B. \(m = - \frac{3}{4}\) C. \(m < 3\) D. \(m > 3\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(y' = 3{x^2} + 6x + m\) Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài \(\sqrt{3}\) khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,(*)\) Với ( \({x_1},{x_2}$\) là 2 nghiệm của phương trình y’=0) \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 3m > 0\\ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ 4 - \frac{{4m}}{3} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m = \frac{3}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\)
Câu 625: Tím số các giá trị nguyên của m để hàm số \(f(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên các khoảng xác định và hàm số \(g(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 2}}\) đồng biến trên các khoảng xác định. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Xét \(f(x)\) , TXĐ: D = R\{-1} \(f'(x) = \frac{{2 + m}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \(f'(x) = 0 \Rightarrow m = - 2\) Với m = -2 ta có \(f(x) = 2\) là hàm hằng. \(f'(x) < 0 \Rightarrow m < - 2\) Khi đó hàm số f(x) nghịch biến trên từng khoảng xác định (*). Xét \(g(x)\) , TXĐ: D = R\{-2} \(g'(x) = \frac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \(g'(x) = 0 \Rightarrow m = - 4\) Với m = -4 thì g(x) = 2 là hàm hằng. \(g'(x) > 0 \Leftrightarrow m > - 4\) Khi đó hàm số g(x) đồng biến trên từng khoảng xác định(**) Từ (*) và (**) suy ra có 1 giá trị nguyên là -3 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 626: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = 2{x^3} - 2{x^2} + mx - 1\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)? A. \(m \ge - 2\) B. \(m \le - 3\) C. \(m \ge \frac{2}{3}\) D. \(m \ge - \frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(y' = 6{x^2} - 4x + m\) Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì: \(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Rightarrow 6{x^2} - 4x + m \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \end{array}\) \(\Leftrightarrow m \ge - 6{x^2} + 4x,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) Xét hàm số \(g(x) = - 6{x^2} + 4x,x \in \left( {1; + \infty } \right)\) \(\begin{array}{l} g'(x) = - 12x + 4\\ g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \end{array}\) Bảng biến thiên: Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì: \(m \ge \frac{2}{3}\)\(f(x) = \frac{{2x - m}}{{x + 1}}\)
Câu 627: Tập hợp m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} - 3m + 1\) đồng biến trên khoảng (1; 2) là? A. \(\left( {1; + \infty } \right)\) B. \(\left( {0;1} \right)\) C. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\) D. \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} - m = 0(*) \end{array} \right.\) TH1: \(m \le 0\) thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 0. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên đồng biến trên khoảng (1;2). TH2: \(m > 0\) Khi đó: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt m \\ x = \sqrt m \end{array} \right.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng: \(( - \sqrt m ,0);\,\left( {\sqrt m ; + \infty } \right)\) Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) thì \(\sqrt m < 1 \Leftrightarrow m < 1\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\).
Câu 628: Tìm tập hợp m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + (m + 1){x^2} - (m + 1)x + 1\) nghịch biến trên R? A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\) B. \(\left[ { - 2; - 1} \right]\) C. R D. \(\emptyset\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(y' = {x^2} + 2(m + 1)x - (m + 1)\) Ta thấy hệ số của x2 là 1>0 nên không thể xảy ra trường hợp \(y' \le 0,\forall x \in R\). Do đó hàm số không thể nghịch biến trên R. Vậy không tồn tại giá trị m thỏa m yêu cầu bài toán.
Câu 629: Tìm tập hợp m để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {m + 1} \right)x + 1\) đồng biến trên R. A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\) B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\) C. \(\left[ { - 1;0} \right]\) D. \(\left( { - 1;0} \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 3(m + 1)\\ \Delta ' = 9{(m + 1)^2} - 9(m + 1) = 9{m^2} + 9m \end{array}\) Để hàm số đồng biến trên thì: \(\begin{array}{l} \Delta ' \le 0,\forall m\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 9m \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \end{array}\)
Câu 630: Hàm số \(y = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng nào? A. \(\left( { - \infty ;0} \right)\) B. \(\left( {0;1} \right)\) C. \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;1} \right)\) D. \(\left( {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {0;2} \right\}\) \(y = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x - 2}} = - \frac{2}{{x(x - 2)}}\) \(y' = \frac{{4(x - 1)}}{{{{(x - 2)}^2}{x^2}}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) \(y' < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ 0 < x < 1 \end{array} \right.\) Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right);\left( {0;1} \right)\).
