Câu 651: Tìm các giá trị m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 - (m^2 + 2m)x - 2\) đạt cực đại tại \(x = 2?\) A. \(\left [ \begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \end{matrix} \right.\) B. \(\left [ \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \end{matrix} \right.\) C. \(\left [ \begin{matrix} m = 0 \\ m = 3 \end{matrix} \right.\) D. \(\left [ \begin{matrix} m = 5 \\ m = 2 \end{matrix} \right.\) Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R \(y' = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m); \ y' = -6x + 2(m+3)\) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2\) \( \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} y'(2) = 0 \\ y'(2) < 0 \end{matrix} \right.\) \( \Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} -12 + 4 (m + 3) - m^2 - 2m = 0 \\ -12 + 2m + 6 < 0 \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} m^2 - 2m = 0 \\ m < 3 \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \end{matrix} \right.\) Kết luận: Giá trị m cần tim là m = 0, m = 2
Câu 652: Tìm m lớn nhất để hàm số \(y = x^3 - 3mx^2 + x\) đồng biến trên R? A. 1 B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) C. \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\) D. 2 Spoiler: Xem đáp án TXĐ: D = R Ta có: \(y' = 3x^2 - 6mx + 1\) Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi: \(y' \geq 0; \ \forall x \in \mathbb{R}\) \(\\ \Leftrightarrow 3x^2 - 6mx + 1 \geq 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1 > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 36m^2 - 12 \leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m \in \left [ - \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}} \right ]\) Vậy \(m \in \left [ - \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}} \right ]\) thì hàm số đồng biến trên R. Chọn B
Câu 653: Tìm m để hàm số \(y = \frac{x-1}{x+m}\) đồng biến trên khoảng \((2; + \infty)\) A. \([ -1; + \infty)\) B. \((2; +\infty)\) C. \((-1; +\infty)\) D. \((-\infty; -2)\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{x-1}{x+m} \Rightarrow y'= \frac{m+1}{(x+m)^2}\) Điều kiện cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} m + 1 > 0 \ \ \ \\ -m \not \in (2; + \infty) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m > -1\)
Câu 654: Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = \frac{x^4}{4} - 2x^2+6\). A. \(y_{CD} = 2\) B. \(y_{CD} = 6\) C. \(y_{CD} \in \{ 2;6\}\) D. \(y_{CD}=0\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\) Ta có: \(\\ y ' = x^3 - 4x = x(x^2 - 4); \ y'(x) = 0 \\ \\ \Leftrightarrow x_{1}=0; \ x_{2} = 2; \ x_{3}= -2 \\ \\ y'' = 3x^2 - 4\) \(\\ \\ y''(\pm 2) = 8 > 0\) nên x= -2 và x = 2 là hai điểm cực tiểu. \(\\ \\ y''(0) = -4 < 0\) nên x = 0 là điểm cực đại. ⇒ Hàm số đạt cực đại tại \(x_{CD} = 0 ; \ y_{CD} = 6\)
Câu 655: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). A. \(y = -x^3+3x - 4\) B. \(y = -x^3+x^2 - 2x+1\) C. \(y = -x^3+3x^2 - 3x-1\) D. Đáp án B và C Spoiler: Xem đáp án \(A) \ y = -x^3 + 3x - 4 \Rightarrow y' = -3x^2 + 3 = 3(x-1)(x+1)\leq 0\) \(\Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1 \ (loai)\) \(B) \ y = -x^3 + x^2 - 2x + 1\) \(\Rightarrow y' = -3x^2 + 2x - 2 = -3 \left ( x - \frac{1}{3} \right )^2 - \frac{5}{3} <0; \ \forall x \in \mathbb{R}\) (chọn) \(C) \ y = -x^3 + 3x^2 - 3x - 1\) \(\Rightarrow y' = -3x^2 + 6x - 3 = -3 (x-1)^2 \leq 0; \ \forall x \in \mathbb {R}\) (chọn) Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án D
Câu 656: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông và thể tích khối hộp được tạo thành là 8 dm3 Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế để diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất là A. \(2\sqrt[3]{2}\) B. 2 C. 4 D. Không có giá trị nhỏ nhất Spoiler: Xem đáp án Gọi độ dài cạnh đáy là x. Độ dài đường cao là y. Thể tích khối hộp là: V=x2y = 8 (1) Diện tích toàn phần: S=2x2 + 4xy (2) Bài toàn trở thành tìm x,y sao cho S đạt GTNN. Từ (1) suy ra: \(y = \frac{8}{{{x^2}}}\) thay vào (2) ta có: \(S = 2{x^2} + 4x\frac{8}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{32}}{x}\) Xét hàm số: \(f(x) = 2{x^2} + \frac{{32}}{x}\,;x \in \left( {0; + \infty } \right)\) Ta có: \(f'(x) = 4x - \frac{{32}}{{{x^2}}}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{{32}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 4{x^3} - 32 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) Bảng Biến thiên: Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f(x) = 24\) tại x=2. Vậy diện tích xung quanh đạt GTNN khi độ dài cạnh đáy bằng 2.
Câu 657: Cho biểu thức \(A = \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}},\) với \(x, y\neq 0\) Giá trị nhỏ nhất của A bằng: A. 1 B. 0 C. -1 D. Không có giá trị nhỏ nhất Spoiler: Xem đáp án Đặt \(y=xt, t\neq 0\) Khi đó: \(A = \frac{{2xt.x}}{{{x^2} + {{(xt)}^2}}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) Xét hàm số: \(f(t) = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) trên R \(f'(t) = - \frac{{2({t^2} - 1)}}{{{{\left( {t{}^2 + 1} \right)}^2}}}\) \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = 1 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy \(min \ f(t)= -1\) tại \(t =- 1\neq 0\) Vậy GTNN của A bằng -1.
Câu 658: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin x - \frac{4}{3}{\sin ^3}x\) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng: A. \(-\frac{1}{3}\) B. 1 C. \(\frac{1}{3}\) D. -3 Spoiler: Xem đáp án Đặt t=sinx Do \(x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(t \in \left( { - 1;1} \right)\) Xét hàm số: \(f(t) = t - \frac{4}{3}{t^3},t \in \left( { - 1;1} \right)\) \(y' = 1 - 4{t^2}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{1}{2}\\ t = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy \(\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} f(t) = - \frac{1}{3}\)
Câu 659: Cho hàm số có bảng biến thiên sau Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng? A. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2. B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 và 1 D. Giá trị lớn nhất của hàm số là 1 Spoiler: Xem đáp án Đáp án đúng: A
Câu 660: Cho hàm số \(y = {x^3} + 5x + 7.\) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-5; 0] là: A. 7 B. -143 C. 6 D. 8 Spoiler: Xem đáp án \(y' = 3{x^2} + 5\\ y' = 0\,(VN)\) y(-5) = -143 y(0) = 7 Vậy GTLN của hàm số là 7.
