Câu 61: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + 2 + \frac{4}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right].\) Tính \(P = M + m.\) A. \(P = 10.\) B. \(P = 11.\) C. \(P = 30.\) D. \(P = 12.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {\left( {x + 2 + \frac{4}{{x + 1}}} \right)^\prime } = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right..\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( 0 \right) = 6\\y\left( 1 \right) = 5\\y\left( 3 \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 3 \right) = 6\\m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = 5\end{array} \right. \Rightarrow P = 11.\)
Câu 62: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau: Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số có 2 điểm cực trị. B. Hàm số có 1 điểm cực trị C. Hàm số có 3 điểm cực trị. D. Hàm số không có điểm cực trị. Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 63: Cho hàm số \(y = {\log _2}\left( { - {x^2} + 2x} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\). C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\). Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \left( {0;2} \right)\) Ta có: \(y' = \frac{{ - 2x + 2}}{{\left( { - {x^2} + 2x} \right)\ln 2}}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
Câu 64: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ, đường kính bằng \(8\sqrt 2 \)cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ kích thước x, y như hình vẽ. Hãy xác định x để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất? A. \(x = \sqrt {17} - 3\) B. \(x = \sqrt {41} - 3\) C. x = 1 D. \(x = \pm \sqrt {41} - 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(0 < x < 4\left( {\sqrt 2 - 1} \right);\,\,0 < y < 8.\) Theo Pitago ta có: \({\left( {2{\rm{x}} + 8} \right)^2} + {y^2} = 128 \Leftrightarrow {y^2} = 64 - 4{{\rm{x}}^2} - 32{\rm{x}}.\) Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn nhất khi diện tích miếng phụ là \(S\left( x \right)\) lớn nhất. Ta có: \({S^2}\left( x \right) = - 4{{\rm{x}}^4} - 32{{\rm{x}}^3} + 64{{\rm{x}}^2} = f\left( x \right).\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên: Suy ra \(S\left( x \right)\) lớn nhất khi \(x = \sqrt {17} - 3.\)
Câu 65: Xác định m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 4x + 7\) có độ dài khoảng nghịch biến bằng \(2\sqrt 5 .\) A. \(m = - 2;\,\,m = 4\) B. \(m = 1;\,\,m = 3\) C. \(m = 0;\,\,m = - 1\) D. \(m = 2;\,\,m = - 4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4\) \(\Delta = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 16 = 4{m^2} + 8m - 12\) \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m - 12 > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > 1\end{array} \right.\) Khi đó hàm số có khoảng nghịch biến. Áp dụng Vi-et ta có: \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 16 = 4{m^2} + 8m - 12\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\left( {nhan} \right)\\m = - 4\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Câu 66: Gọi A, B lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {3;1} \right]\). Tìm S=A – 3B. A. S=1 B. S=0 C. S=2 D. S=-1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = \frac{2}{3}\\f\left( { - 2} \right) = \frac{{ - 1}}{3}\\f\left( { - 3} \right) = \frac{{ - 2}}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 1\\B = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow A - 3B = 2.\)
Câu 67: Trong các hàm số sau, hàm nào đồng biến trên \(\mathbb{R}?\) A. \(y = {e^{{x^3} + x}}\) B. \(y = \sqrt {{x^2} + 3x + 4} \) C. \(y = x - \frac{1}{x}\) D. \(y = - 3x - \sin x\) Spoiler: Xem đáp án Loại phương án C, vì hàm số không xác định trên \(\mathbb{R}.\) Xét các hàm số còn lại ta có: \(\left( {{e^{{x^3} + x}}} \right)' = \left( {3{x^2} + 1} \right){e^{{x^3} + x}} > 0.\) Vậy A là phương án đúng.
Câu 68: Cho hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\). Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. A. \(y = - 8x + 1\) B. \(y = - 8x - 1\) C. \(y = - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}\) D. \(y = - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\) Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x - 9;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\) Vậy tọa độ hai điểm cực trị là: \(A\left( { - 1;7} \right);\,\,B(3; - 25)\) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là: \(y = - 8x - 1.\)
Câu 69: Đồ thị của hàm số nào sau đây có 1 điểm cực trị ? A. \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 2\) B. \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) C. \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\) D. \(y = 2{x^4} + 4{x^2} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) có thể có hai điểm cực trị hoặc không có cực trị. Nên loại A và C. Xét phương án B và D ta có: \(y' = 8{x^3} + 8x = 8x\left( {{x^2} + 1} \right);\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy D là phương án đúng.
Câu 70: Hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 9x + 11\) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. \(\left( {1;3} \right)\) B. \(\left( { - 3; - 1} \right)\) C. \(\left( { - 3;1} \right)\) D. \(\left( { - 2;3} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = - 3{x^2} - 6x + 9\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\) Vậy hàm số đồng biến trong khoảng \(( - 3;1).\)
