Câu 71: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\). Tính tổng S các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số. A. S=2 B. S=–18 C. S=7 D. S=– 25 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 25\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {y_{CD}} + {y_{CT}} = 7 - 25 = - 18.\)
Câu 72: Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với đáy cốc dày 1,5 (cm), thành xung quanh cốc dày 0,2 (cm) và có thể tích thật (thể tích cốc đựng được) là \(480\pi \left( {c{m^3}} \right)\)thì người ta cần ít nhất bao nhiêu\(c{m^3}\) thủy tinh? A. \(71,16\pi \left( {c{m^3}} \right)\) B. \(85,41\pi \left( {c{m^3}} \right)\) C. \(84,64\pi \left( {c{m^3}} \right)\) D. \(75,66\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x và h lần lượt là bán kính và chiều cao của cốc. Ta có: (0, 4 < x) và \({\left( {x - 0,2} \right)^2}\left( {h - 1,5} \right)\pi = 480\pi \Leftrightarrow h = \frac{{480}}{{{{\left( {x - 0,2} \right)}^2}}} + 1,5\) Thể tích thủy tinh cần là: \(V = \pi {x^2}h - 480\pi = {x^2}\left[ {\frac{{480}}{{{{\left( {x - 0,2} \right)}^2}}} + 1,5} \right]\pi - 480\pi \) \( \Rightarrow V' = \frac{{2x}}{{{{\left( {x - 0,2} \right)}^3}}}\left[ {1,5{{\left( {x - 0,2} \right)}^3} - 480.0,2} \right]\pi ;V' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{480.0,2}}{{1,5}}}} + 0,2 = 4,2\) Vậy thể tích thủy tinh cần là: \(75,66\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Câu 73: Một tạp chí được bán 25 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức \(C\left( x \right) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000\), C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 nghìn đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cáo. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có được khi bán tạp chí. A. 100.000.000 đồng B. 100.250.000 đồng C. 71.000.000 đồng D. 100.500.000 đồng Spoiler: Xem đáp án Tổng số tiền thu được khi bán x cuốn tạp chí là 2,5x + 10000 (10 nghìn đồng) Chi phí sản xuất x cuốn tạp chí là \(T\left( x \right) = C\left( x \right) + 0,6x\)(10 nghìn đồng) Lãi thu được \(\pi = 2,5x + 10000 - 0,0001{x^2} - 0,4x - 11000 = - 0,0001{x^2} + 2,1x - 1000 = f\left( x \right)\) \(f'\left( x \right) = - 0,0003{x^2} + 2,1 = 0 \Leftrightarrow x = 10500 \Rightarrow Maxf\left( x \right) = f\left( {10500} \right) = 10025\)(10 nghìn đồng)
Câu 74: Cho số hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + m;m \in \mathbb{R}\). Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và hai điểm đó cách đều đường thẳng x = 2. A. m = 1 B. m = 2 C. \(m \in \emptyset \) D. m = 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3m = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m = 0\) Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là: \(\Delta ' = {m^2} - m > 0\) Khi đó gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Theo Viet ta có: \(\,\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m\end{array} \right.\). Mặt khác, \(d\left( {A;x = 2} \right) = d\left( {B;\left( {x = 2} \right)} \right) \Leftrightarrow \left| {{x_1} - 2} \right| = \left| {{x_2} - 2} \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2m = 4 \Leftrightarrow m = 2.\)
Câu 75: Cho các số thực \(a,b,c \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}{{abc}}.\) A. \(MaxP = \frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{2}\) B. \(MaxP = 2\) C. \(MaxP = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\) D. \(MaxP = 0\) Spoiler: Xem đáp án Xét \(A = \frac{{\left| {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)} \right|}}{{abc}}\,\). Giả sử \(a \ge b \ge c\)suy ra: \(A = \left| {\left( {1 - \frac{b}{a}} \right)\left( {1 - \frac{c}{b}} \right)\left( {1 - \frac{a}{c}} \right)} \right| \le \left| {\left( {1 - b} \right)\left( {1 - \frac{1}{{2b}}} \right)1} \right|\) (vì \(0 \le \left| {1 - \frac{a}{c}} \right| \le 1;\,\,\,1 \le \frac{a}{c} \le 2\)) Khi đó \(A \le \left| {\left( {\frac{3}{2} - b - \frac{1}{{2b}}} \right)} \right| \le \left| {\frac{3}{2} - 2\sqrt {\frac{1}{2}} } \right| = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 76: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số \(y = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1\) đơn điệu trên \(\mathbb{R}?\) A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = {\left( {\frac{{m + 2}}{3}{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1} \right)^\prime } = \left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m - 2\) Vì \(m > 0 \Rightarrow m + 2 > 0 \Rightarrow \)Hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta '\left( {y'} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m + 2} \right)\left( {m - 2} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - {m^2} + 4 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 2 \Rightarrow m \in \emptyset \) Suy ra không có giá trị nguyên dương của m để hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 77: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2} \). Tìm tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) \le f\left( x \right)\). A. \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) B. \(S = \left[ { - 1;2} \right]\) C. \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) D. \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2 > 0\\\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} \le \sqrt {{x^2} - 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x < - \sqrt 2 \end{array} \right.\\{x^2} - 2 \ge x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 2 \\x < - \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < - \sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right).\end{array}\)
Câu 78: Cho hàm số \({x^3} + ax + b\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) có hai điểm cực trị \({x_1},{x_2}\). Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? A. Tổng hai giá trị cực trị của hàm số bằng 2b. B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua trục hoành. C. Tổng hai giá trị cực trị của hàm số bằng 0. D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua trục tung. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 3{x^2} + a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} \\x = - \sqrt {\frac{{ - a}}{3}} \end{array} \right.\left( {a < 0} \right)\) Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị là \(A\left( {\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} ;\frac{2}{3}\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} + b} \right);A\left( { - \sqrt { - \frac{a}{3}} ; - \frac{2}{3}\sqrt {\frac{{ - a}}{3}} + b} \right).\)
Câu 79: Cho các hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\,,y = - {x^3} + {x^2} - 3x + 1,y = {x^4} + 2{x^2} + 2\). Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số đơn điệu trên \(\mathbb{R}?\) A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\,\)đơn điệu trên mỗi khoảng xác định, hàm số \(y = - {x^3} + {x^2} - 3x + 1\) có \(y' = - 3{x^2} + 2x - 3 < 0\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\) nên đơn điệu trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 80: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Đồ thị hàm số f'(x) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\). B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\). C. Hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị. D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị f'(x) và đáp án ta thấy: - Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). - Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1;2} \right)\). - Hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị.
