Câu 81: Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3200 cm3 tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A. \(1600c{m^2}\) B. \(1200c{m^2}\) C. \(120c{m^2}\) D. \(160c{m^2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi kích thước của đáy là a; b (a < b) khi đó chiều cao của hố là h = 2a Ta có: \(V = {S_d}h = 2{a^2}b\). Diện tích nguyên vật liệu cần dùng là:\(S = {S_d} + {S_{xq}} = ab + 2\left( {a + b} \right).h = ab + 4a\left( {a + b} \right) = 4{a^2} + 5ab = 4{a^2} + 5a.\frac{V}{{2{a^2}}} = 4{a^2} + \frac{{5V}}{{2a}}\) Xét hàm số \(f(a) = 4{a^2} + \frac{{5V}}{{2a}},\,a > 0\) Ta có: \(f'(a) = 8a - \frac{{5V}}{{2{a^2}}};\,\,f'(a) = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{5V}}{{16}}}} = 10\) Vậy khi a=10 (cm) thì hố ga được xây sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất. \(V = {S_d}h = 2{a^2}b \Rightarrow b = 16\) Vậy diện tích đay của hố ga là: \({S_d} = 160\left( {c{m^2}} \right).\)
Câu 82: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} + 15x + 10.\) A. 5 B. 110 C. 2 D. -1 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = - 3{x^2} + 12x + 15 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 5\end{array} \right.\). Mặt khác \(y'' = - 6x + 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y''\left( { - 1} \right) = 18 > 0\\y''\left( 5 \right) = - 18 < 0\end{array} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = 2\).
Câu 83: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)^\prime } = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D.\) Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Câu 84: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? A. \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 1\) B. \(y = {x^4} + 2{x^2} - 2\) C. \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) D. \(y = {x^3} - {x^2} + x - 1\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số bậc bốn trùng phương luôn không đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định \(\mathbb{R}\) của nó, loại B. Hàm số phân thức \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, không đồng biến trên tập xác định, loại C. Kiểm tra phương án A và D ta thấy: Hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + x - 1\) có đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 2x + 1 = 3{x^2} + {(x - 1)^2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Câu 85: Hàm số nào dưới đây có điểm cực trị? A. \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 4x + \frac{2}{3}\) B. \(y = 3{x^4} + {x^2} - 5\) C. \(y = \frac{{5x - 1}}{{x - 2}}\) D. \(y = \frac{{{x^2} + 3x - 6}}{{x + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số bậc bốn trùng phương luôn có ít nhất một điểm cực trị.
Câu 86: Giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right) - x\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {3;8} \right]\) bằng 3 là: A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) = {\left[ {m\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right) - x} \right]^\prime } = \frac{m}{{2\sqrt {1 + x} }} - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{m}{{2\sqrt {1 + x} }} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{{m^2} - 4}}{4}\) Tính các giá trị \(f\left( 3 \right) = 3m - 3;f\left( 8 \right) = 4m - 8;f\left( {\frac{{{m^2} - 4}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2}\) TH1: Nếu \(f\left( 3 \right) = 3m - 3 = 3 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 8 \right) = 0\\x = \frac{{{m^2} - 4}}{5} = 0 \notin \left[ {3;8} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} = 3\) TH2: Nếu \(f\left( 8 \right) = 4m - 8 = 3 \Rightarrow m = \frac{{11}}{4} \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{21}}{4} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( x \right) \ne 3\) TH3: Nếu \(f\left( {\frac{{{m^2} - 4}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{m + 2}}{2}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2 - 2\sqrt 3 \Rightarrow x = \frac{{{m^2} - 4}}{4} = 3 + 2\sqrt 3 \\m = - 2 + 2\sqrt 3 \Rightarrow x = \frac{{{m^2} - 4}}{4} = 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( x \right) \ne 3\) Suy ra \(m = 2\)thì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {3;8} \right]\) bằng 3.
Câu 87: Tập giá trị của hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) là: A. \(\left( {1; + \infty } \right)\) B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - \infty ;1} \right]\) D. \(\left[ {0; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({x^2} + 1 > {x^2} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| > - x \Rightarrow y = x + \sqrt {{x^2} + 1} > x - x = 0.\)
Câu 88: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3x + 1} \right|\). Mệnh đề nào dưới đây sai? A. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 1\) B. \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 19\) C. Tồn tại \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} f\left( x \right)\) D. Tồn tại \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3x + 1} \right| = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \in \left[ {0;3} \right] \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 0\) Vậy A là mệnh đề sai.
Câu 89: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) sao \(f'\left( x \right) < 0,\forall x > 0\). Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) = 2f\left( 3 \right)\) B. \(f\left( e \right) - f\left( \pi \right) \le 0\) C. \(f\left( e \right) - f\left( \pi \right) \le 2f\left( 2 \right)\) D. \(f\left( e \right) + f\left( \pi \right) = f\left( 3 \right) + f\left( 4 \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(f'\left( x \right) < 0,\forall x > 0 \Rightarrow \forall x > 0\) thì hàm số nghịch biến, dựa vào đáp án ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) > f\left( 3 \right)\\f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) > 2f\left( 3 \right)\). \(f\left( e \right) > f\left( \pi \right) \Rightarrow f\left( e \right) - f\left( \pi \right) > 0\) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( e \right) < f\left( 2 \right)\\f\left( \pi \right) < f\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( e \right) + f\left( \pi \right) < 2f\left( 2 \right)\) \(f\left( e \right) + f\left( \pi \right) < f\left( 3 \right) + f\left( 4 \right)\)
Câu 90: Giả sử đồ thị (C) của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai điểm cực trị là \(M\left( { - 1;7} \right)\) và \(N\left( {5; - 7} \right)\). Gọi x1, x2, x3 là hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành. Khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3}\) bằng: A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c;\forall x \in R\). Điểm \(M\left( { - 1;7} \right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số khi: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 7\\f'\left( { - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 7\\3a - 2b + c = 0\end{array} \right.\) Điểm \(N\left( {5; - 7} \right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số khi: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 5 \right) = - 7\\f'\left( 5 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}125a + 25b + 5c + d = - 7\\75a + 10b + c = 0\end{array} \right.\) Từ hai điều trên, suy ra \(a = \frac{7}{{54}};b = - \frac{7}{9};c = - \frac{{35}}{{18}};d = \frac{{161}}{{27}}\) Khi đó \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x - 23} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 2 + 4 = 6\)
