Câu 101: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x - m}}\) có đường tiệm cận đứng. A. \(m \ne 1\) B. \(m = 1\) C. \(\forall m \in \mathbb{R}\) D. \(m \ne \frac{3}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT \(3x - m = 0\) không có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\) Khi đó \(3.\frac{1}{2} - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}.\)
Câu 102: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}}.\) A. \(x = \pm 1,y = 0\) B. \(x = \pm 1,y = 1\) C. \(y = 0\) D. \(x = \pm 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Với \(x = \pm 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 3} - 2 = 0\) Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}}\) Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} + 2}} = 0\) Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận ngang.
Câu 103: Biết rằng các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đường cong \(\left( C \right):y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}}\) và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 16. B. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 8. C. (H) là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12. D. (H) là một hình vuông có chu vi bằng 4. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}}\) TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right];\left[ {1; + \infty } \right)/\left\{ 4 \right\}\) Ta có: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {4^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim y}\limits_{x \to {4^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = - \infty \) \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 6\) \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} = 4\) Vậy đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \(x = 4,y = 4,y = 6\) như hình vẽ bên. Khi đó (H) là vùng được tô màu, là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12.
Câu 104: Biết rằng hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)đạt cực tiểu tại điểm \(x = 1,f\left( 1 \right) = - 3\)và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại \(x = - 2\). A. \(f\left( { - 2} \right) = 24\) B. \(f\left( { - 2} \right) = 4\) C. \(f\left( { - 2} \right) = 2\) D. \(f\left( { - 2} \right) = 16\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^3} + a{x^2} + bx + c} \right)^\prime } = 3{x^2} + 2ax + b\) Theo đề bài: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) = - 3\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 2a + b\\1 + a + b + c = - 3\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 9\\c = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 2 \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 24\end{array}\)
Câu 105: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào? A. \(f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) B. \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) C. \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) D. \(f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên và đáp án ta thấy: Đồ thị hàm số có TCĐ và TCN lần lượt là \(x = - 1,y = 1\) loại C, D. Hàm số đồng biến trên khoảng xác định, loại A. Vậy B là phương án đúng.
Câu 106: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên R và có bẳng biến thiên như sau: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình \(f\left( x \right) = m + 1\) có ba nghiệm thực phân biệt? A. \(\left( { - 5;1} \right)\) B. \(\mathbb{R}\) C. \(\left( { - 4;0} \right)\) D. \(\left[ { - 5; - 1} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình \(f\left( x \right) = m + 1\) có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) giao đường thẳng \(y = m + 1\) song song với trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Từ bảng biến thiên ta suy ra: \( - 4 < m + 1 < 0 \Leftrightarrow - 5 < m < - 1 \Leftrightarrow m \in \left( { - 5; - 1} \right).\)
Câu 107: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có phương trình lần lượt là các đường thẳng nào sau đây? A. \(x = - 1;y = 2\) B. \(y = - 1;y = 2\) C. \(x = 2;y = - 1\) D. \(x = - 1;y = 2\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) nhận đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận đứng và nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm tiệm cận ngang.
Câu 108: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{{\rm{x}} + c}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tính giá trị của \(a + 2b + c.\) A. -1 B. -2 C. 0 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\a = - 1\end{array} \right.\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0; - \frac{3}{2}} \right),\left( {3;0} \right) \Rightarrow b = 3.\) Suy ra \(a + 2b + c = 3.\)
Câu 109: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m}}\) có hai tiệm cận đứng. A. \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 8\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 8\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m}}\). Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 2{\rm{x}} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta '} > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m - 1 \ne 0\\m + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne - 8\end{array} \right..\)
Câu 110: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\},\) liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số có cực trị. B. Đồ thị hàm số và đường thẳng \(y = 3\) có một điểm chung. C. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 1\) làm tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y=3 và đồ thị của hàm số của một điểm chung. Hàm số không có cực trị. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm.
