Câu 111: Tìm tất cả tất cả các giá trị \({y_0}\) đề đường thẳng \(y = {y_0}\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2}\) tại 4 điểm phân biệt. A. \(0 < {y_0} < \frac{1}{4}.\) B. \( - \frac{1}{4} < {y_0} < 0.\) C. \({y_0} > \frac{1}{4}.\) D. \({y_0} < - \frac{1}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^4} - {x^2}\) \(y' = 4{x^3} - 2x = 2x(2{x^2} - 1)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra đường thẳng \(y = {y_0}\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2}\) tại bốn điểm phân biệt khi: \( - \frac{1}{4} < {y_0} < 0.\)
Câu 112: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận? A. \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}.\) B. \(y = {x^4} - 5{{\rm{x}}^2} + 1.\) C. \(y = - {x^3} + 2{\rm{x}} - 3.\) D. \(y = - {x^4} + {x^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số đa thức không có tiệm cận nên loại B, C, D. Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}\) nhận đường thẳng x=-3 làm tiệm cận đứng và y=1 làm tiệm cận ngang.
Câu 113: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\). B. \(y = {x^3} - 3{x^2} - 4\). C. \(y = {x^3} + 3{x^2} + 4\). D. \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\). Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số bậc ba và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty \) suy ra hệ số của \({x^3}\) dương, loại A. Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-4), loại C. Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;-2) nên loại B. Vậy D là phương án đúng.
Câu 114: Cho hàm số \(\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2} + 1\). Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + 5.\) A. \(\left( {1 - \sqrt 5 ;3 - 2\sqrt 5 } \right)\). B. \(\left( { - 1;3} \right)\). C. \(\left( {1 + \sqrt 5 ;3 + 2\sqrt 5 } \right)\). D. Cả A, B, C. Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} + 3{x^2} + 1 = 2x + 5 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} - 2x - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 1 \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\). Với \(x = - 1 \Rightarrow y = 3\), được giao điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\). Với \(x = - 1 - \sqrt 5 \Rightarrow y = 3 - 2\sqrt 5 \), được giao điểm \(B\left( { - 1 - \sqrt 5 ;3 - 2\sqrt 5 } \right)\). Với \(x = - 1 + \sqrt 5 \Rightarrow y = 3 + 2\sqrt 5 \), được giao điểm \(C\left( { - 1 + \sqrt 5 ;3 + 2\sqrt 5 } \right)\).
Câu 115: Biết đường thẳng \(y = 3x + 4\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 2}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt có tung độ \({y_1}\) và \({y_2}\). Tính \({y_1} + {y_2}\) A. \({y_1} + {y_2} = 10\) B. \({y_1} + {y_2} = 11\) C. \({y_1} + {y_2} = 9\) D. \({y_1} + {y_2} = 1\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là \(\frac{{4x + 2}}{{x - 1}} = 3x + 4 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - x - 2 = 0}\\{x \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - 1}\\{{x_2} = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_1} = 1}\\{{y_2} = 10}\end{array}} \right. \Rightarrow {y_1} + {y_2} = 11} \right.\)
Câu 116: Bảng biến thiên ở hình bên là của một trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hãy tìm hàm số đó A. \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) B. \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) C. \(y = \frac{{ - 2x - 3}}{{x + 1}}\) D. \(y = \frac{{ - x + 1}}{{x - 2}}\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên và đáp án ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \(x = - 1,y = 2.\) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Câu 117: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}}\) ? A. \(x = - 2\) B. \(y = \frac{1}{2}\) C. \(y = - 3\) D. \(x = - 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 3\) Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=-3 làm tiệm cận ngang.
Câu 118: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\), liên tục trên từng khoảng xác định, và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có nghiệm thực duy nhất. A. \(\left( {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 1} \right\}\) B. \(\left( {0; + \infty } \right)\) C. \(\left[ {0; + \infty } \right)\) D. \(\left[ {0; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 1} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = m.\) Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt đường thẳng y=m tại một điểm khi m=-1 hoặc m>0.
Câu 119: Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D như hình vẽ bên. Biết rằng \(AB = BC = CD\), mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(a > 0,b < 0,c > 0,100{b^2} = 9ac\) B. \(a > 0,b > 0,c > 0,0,9{b^2} = 100ac\) C. \(a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac\) D. \(a > 0,b > 0,c > 0,100{b^2} = 9ac\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {a{x^4} + b{x^2} + c} \right) = + \infty \Rightarrow a > 0\) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm như trong hình khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{a} > 0}\\{\frac{c}{a} > 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b < 0}\\{c > 0}\end{array}} \right.\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm PT \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}}\\{x_A^2 = x_D^2 = {x_1}}\\{x_B^2 = x_C^2 = {x_2}}\end{array}} \right.\) Ta có \(AB = BC = CD\), suy ra \({x_A} + {c_C} = 2{x_B} \Rightarrow - \sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = - 2\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x_1}} \) \( = 3\sqrt {{x_2}} \Leftrightarrow {x_1} = 9{x_2}\left( 3 \right)\) Từ (1), (2), (3) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\\{{x_1} = 9{x_2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} = - \frac{{9b}}{{10a}}}\\{{x_2} = - \frac{b}{{10a}}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{{9{b^2}}}{{100{a^2}}} \Rightarrow 9{b^2} = 100ac\) Suy ra \(a > 0,b < 0,c > 0,9{b^2} = 100ac.\)
Câu 120: Tìm tất cả các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}}.\) A. \(y = 1\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y = 3}\end{array}} \right.\) C. \(y = 2\) D. \(y = 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^1} + 1} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x} + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{{2 + 1}}{1} = 3}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1 + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x} - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{3}{x}}} = \frac{{2 - 1}}{1} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1,y = 3.\)
