Câu 121: Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + m\) (m là tham số thức) có đồ thị (C). Giả sử (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) (với \({x_1} < {x_2} < {x_3}\)). Khẳng định nào sau đây đúng? A. \(0 < {x_1} < 1 < {x_2} < 3 < {x_3} < 4\) B. \(1 < {x_1} < {x_2} < 3 < {x_3} < 4\) C. \(1 < {x_1} < 3 < {x_2} < 4 < {x_3}\) D. \({x_1} < 0 < 1 < {x_2} < 3 < {x_3} < 4\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Khi đó PT \({x^3} - 6{x^2} + 9x + m = 0\)có ba nghiệm phân biệt. Suy ra PT \({x^3} - 6{x^2} + 9x = - m\) có ba nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng \(y = - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) tại 3 điểm phân biệt. Xét hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) \(y' = 3{x^2} - 12{x^2} + 9\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) cắt đường thẳng y=-m tại 3 điểm khi: 0<-m<4 hay \( - 4 < m < 0.\)
Câu 122: Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của dồ thị hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{2 + x}}.\) Tìm tọa độ I. A. \(I\left( { - 2; - \frac{3}{2}} \right).\) B. \(I\left( {1;2} \right).\) C. \(I\left( { - 2;1} \right).\) D. \(I\left( { - 2;2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 2,\) tiệm cận ngang là \(y = 2 \Rightarrow I\left( { - 2;2} \right).\)
Câu 123: Cho hàm số \(y = {x^3} - x - 1\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. A. \(y = - x + 1.\) B. \(y = 2x - 1.\) C. \(y = 2{\rm{x}} + 2.\) D. \(y = - x - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là giao điểm của đồ thị và trục tung \(M\left( {0; - 1} \right).\) Ta có: \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 1 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 1.\) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của (C) tại M, suy ra \(\Delta :y = - \left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y = - x - 1.\)
Câu 124: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{{{x^2} - 3{\rm{x}} - 4}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \left[ { - 2;2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\) Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang. Ta có \({x^2} - 3{\rm{x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right..\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y\)không tồn tại. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = + \infty \) Vậy hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 1.\)
Câu 125: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^2} + m\left( {\sqrt {4 - {x^2}} + 1} \right) - 7\) có điểm chung với trục hoành. A. \(0 \le m \le 3.\) B. \( - 1 \le m \le \frac{7}{3}.\) C. \(2 \le m \le \frac{7}{3}.\) D. \(2 \le m \le 3.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là \({x^2} + m\left( {\sqrt {4 - {x^2}} + 1} \right) - 7 = 0\,\,\,\left( * \right).\) Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right]\), khi đó (*) trở thành: \( - {t^2} + m\left( {t + 1} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}.\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}},\,\,\,t \in \left[ {0;2} \right];\,\,\,f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 3,\,\,f\left( 1 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 3\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow 2 \le m \le 3.\)
Câu 126: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} + 5\) và đường thẳng \(y = x.\) A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \(\sqrt {{x^2} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4} = x - 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\{x^2} - 4 = {\left( {x - 5} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\{x^2} - 4 = {x^2} - 10{\rm{x}} + 25\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\x = \frac{{29}}{{10}}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x \in \emptyset \) Vậy hai đồ thị không có giao điểm.
Câu 127: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. \(a < b < 0.\) B. \(b < 0 < a.\) C. \(0 < b < a.\) D. \(0 < a < b.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1 \Rightarrow a = 1 > 0.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;b} \right) \Rightarrow b > 1\\\left( { - \frac{b}{a};0} \right) \Rightarrow - \frac{b}{a} < - 1 \Rightarrow b > a\end{array} \right.\) Suy ra \(0 < a < b.\)
Câu 128: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}} = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang. Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^3} + x}} = \infty \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Câu 129: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^3} - 3x = {m^2} + m\) có ba nghiệm phân biệt. A. \( - 2 < m < 1\) B. \( - 1 < m < 2\) C. \( - 2 < m < - 1\) D. \(1 < m < 2\) Spoiler: Xem đáp án PT ban đầu là PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) và đường thẳng \(y = {m^2} + m\) song song trục hoành. Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x\) Ta có: \(y' = 3{x^2} - 3;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\) Hai đồ thị có bao nhiêu giao điểm thì PT có bấy nhiêu nghiệm PT có ba nghiệm khi và chỉ khi hai đồ thị có ba giao điểm. Từ bảng biến thiên suy ra: \( - 2 < {m^2} + m < 2 \Rightarrow - 2 < m < 1\)
Câu 130: Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}.\) A. \(x = - 1,y = 1\) B. \(x = 1,y = 1\) C. \(x = 1,y = - 1\) D. \(x = - 1,y = - 1\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}.\) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 1\) Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm tiệm đứng và đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.
